Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 325
2014-06-07 
Через концы А и В отрезка длины а проведены прямые, перпендикулярные друг другу и отрезку АВ. На этих прямых берутся точки С и D соответственно так, чтобы точка пересечения отрезка CD с плоскостью, проходящей через середину О отрезка АВ перпендикулярно ему, была удалена от точки О на расстояние r. Доказать, что длина отрезка CD определяется значениями a и r. Найти геометрическое место точек С.
Решение:
Пусть отрезок CD пересекает указанную в задаче плоскость в точке $E$, а точки $C^{\prime}$ и $D^{\prime}$ - проекции точек $C$ и $D$ на эту плоскость (рис.). Из равенства прямоугольных треугольников $CC^{\prime}E$ и $DD^{\prime}E$
(где $CC^{\prime} = DD^{\prime} = a/2, \angle CEC^{\prime} = \angle DED^{\prime}$) следует, что ОЕ – медиана прямоугольного треугольника $C^{\prime}OD^{\prime}$, откуда $C^{\prime}D^{\prime} = 2OE = 2r$. Поэтому
$CD = 2 \sqrt{C^{\prime}C^{2} + C^{\prime}E^{2}} = \sqrt{4r^{2} + a^{2}}$,
и точки С заполняют отрезок длины 4r с серединой в точке A.
Через концы А и В отрезка длины а проведены прямые, перпендикулярные друг другу и отрезку АВ. На этих прямых берутся точки С и D соответственно так, чтобы точка пересечения отрезка CD с плоскостью, проходящей через середину О отрезка АВ перпендикулярно ему, была удалена от точки О на расстояние r. Доказать, что длина отрезка CD определяется значениями a и r. Найти геометрическое место точек С.
Решение:
Пусть отрезок CD пересекает указанную в задаче плоскость в точке $E$, а точки $C^{\prime}$ и $D^{\prime}$ - проекции точек $C$ и $D$ на эту плоскость (рис.). Из равенства прямоугольных треугольников $CC^{\prime}E$ и $DD^{\prime}E$
(где $CC^{\prime} = DD^{\prime} = a/2, \angle CEC^{\prime} = \angle DED^{\prime}$) следует, что ОЕ – медиана прямоугольного треугольника $C^{\prime}OD^{\prime}$, откуда $C^{\prime}D^{\prime} = 2OE = 2r$. Поэтому
$CD = 2 \sqrt{C^{\prime}C^{2} + C^{\prime}E^{2}} = \sqrt{4r^{2} + a^{2}}$,
и точки С заполняют отрезок длины 4r с серединой в точке A.
