Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3249
2019-05-29 
По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют $n$ поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции $A, B$ и $C$ (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию $A$ и одновременно Лёша входит на станцию $B$, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша - раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?
Решение:
Для ясности будем считать поезда и станции точками.
Понятно, что если $n$ делится на 3, то Лёша и Ира всегда уезжают одновременно. Значит, в этом случае лес отсутствует. Пусть $n$ не делится на 3. Тогда, когда бы они ни пришли на станцию, либо Ира уедет раньше Лёши, либо - Лёша раньше Иры.
Обозначим расстояние между соседними поездами через $l$. Если в некоторой точке $X$ лес, то в точке $Y$, находящейся от нее на расстоянии, кратном $l$, тоже лес. Действительно, если Ира входит на станцию, когда Рома находится в точке $X$, то она уедет первой. Но когда Рома находится в точке $Y$, расположение поездов такое же, как когда он находится в точке $X$, так что в этом случае Ира тоже уедет первой, поэтому в точке $Y$ тоже лес.
Итак, «структура» леса периодическая, поэтому достаточно определить расположение леса на интервале длины $l$.
Рассмотрим момент, когда некоторый поезд отходит от станции $B$ (рис.). Пусть поезд, на который сядет Ира (т. е. ближайший против направления движения к станции $A$ поезд) в этот момент находится на расстоянии $x$ от $A$. Тогда весь интервал между этим поездом и точкой $A$ покрыт лесом. Действительно, если машинист Рома находится на этом интервале, то он увезет Иру, потому что Лёша «упустил» свой поезд (строго говоря, это следует из того, что $x < l$).
Покажем, что интервал длины $l - x$, следующий за $A$ по направлению движения, лесом не покрыт. Действительно, когда поезд придет на станцию $A$, то ближайший к $B$ против направления движения поезд будет на расстоянии $l - x$. Так что если Рома находится на указанном интервале длины $l - x$, то Лёша сядет в поезд первым, так как Ира «упустила» поезд, который ведет Рома.
Итак, на участке длины $l$ леса - $x$, а поля - $l - x$. Так как структура леса периодическая, то и на всей дороге количество леса относится к количеству поля как $x$ к $l - x$.
Осталось найти $x$. Длина окружности равна $nl$, значит, длина большей дуги $BA$ равна $2/3 nl$. Ясно, что величина $x$ равна остатку от деления длины дуги $BA$ на $l$. Значит, если остаток от деления $n$ на 3 равен 1, то $x = 2l/3$, т. е. доля леса составляет $2/3$.
Аналогично, если остаток от деления $n$ на 3 равен 2, то $x = l/3$, и лес составляет 1/3.
Ответ: Если $n$ делится на 3, то лес отсутствует; если $n$ при делении на 3 дает остаток 1, то лес составляет 2/3 дороги; если $n$ при делении на 3 дает остаток 2, то лес составляет 1/3 дороги.
По окружности в одном направлении на равных расстояниях курсируют $n$ поездов. На этой дороге в вершинах правильного треугольника расположены станции $A, B$ и $C$ (обозначенные по направлению движения). Ира входит на станцию $A$ и одновременно Лёша входит на станцию $B$, чтобы уехать на ближайших поездах. Известно, что если они входят на станции в тот момент, когда машинист Рома проезжает лес, то Ира сядет в поезд раньше Лёши, а в остальных случаях Лёша - раньше Иры или одновременно с ней. Какая часть дороги проходит по лесу?
Решение:
Для ясности будем считать поезда и станции точками.
Понятно, что если $n$ делится на 3, то Лёша и Ира всегда уезжают одновременно. Значит, в этом случае лес отсутствует. Пусть $n$ не делится на 3. Тогда, когда бы они ни пришли на станцию, либо Ира уедет раньше Лёши, либо - Лёша раньше Иры.
Обозначим расстояние между соседними поездами через $l$. Если в некоторой точке $X$ лес, то в точке $Y$, находящейся от нее на расстоянии, кратном $l$, тоже лес. Действительно, если Ира входит на станцию, когда Рома находится в точке $X$, то она уедет первой. Но когда Рома находится в точке $Y$, расположение поездов такое же, как когда он находится в точке $X$, так что в этом случае Ира тоже уедет первой, поэтому в точке $Y$ тоже лес.
Итак, «структура» леса периодическая, поэтому достаточно определить расположение леса на интервале длины $l$.
Рассмотрим момент, когда некоторый поезд отходит от станции $B$ (рис.). Пусть поезд, на который сядет Ира (т. е. ближайший против направления движения к станции $A$ поезд) в этот момент находится на расстоянии $x$ от $A$. Тогда весь интервал между этим поездом и точкой $A$ покрыт лесом. Действительно, если машинист Рома находится на этом интервале, то он увезет Иру, потому что Лёша «упустил» свой поезд (строго говоря, это следует из того, что $x < l$).
Покажем, что интервал длины $l - x$, следующий за $A$ по направлению движения, лесом не покрыт. Действительно, когда поезд придет на станцию $A$, то ближайший к $B$ против направления движения поезд будет на расстоянии $l - x$. Так что если Рома находится на указанном интервале длины $l - x$, то Лёша сядет в поезд первым, так как Ира «упустила» поезд, который ведет Рома.
Итак, на участке длины $l$ леса - $x$, а поля - $l - x$. Так как структура леса периодическая, то и на всей дороге количество леса относится к количеству поля как $x$ к $l - x$.
Осталось найти $x$. Длина окружности равна $nl$, значит, длина большей дуги $BA$ равна $2/3 nl$. Ясно, что величина $x$ равна остатку от деления длины дуги $BA$ на $l$. Значит, если остаток от деления $n$ на 3 равен 1, то $x = 2l/3$, т. е. доля леса составляет $2/3$.
Аналогично, если остаток от деления $n$ на 3 равен 2, то $x = l/3$, и лес составляет 1/3.
Ответ: Если $n$ делится на 3, то лес отсутствует; если $n$ при делении на 3 дает остаток 1, то лес составляет 2/3 дороги; если $n$ при делении на 3 дает остаток 2, то лес составляет 1/3 дороги.
