Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3248
2019-05-29 
В выпуклом шестиугольнике $AC_1BA_1CB_1$ дано: $AB_1 = AC_1, BC_1 = BA_1, CA_1 = CB_1$ и $\angle A + \angle B + \angle C = \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1$.
Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна половине площади шестиугольника.
Решение:
Заметим, сначала, что сумма всех углов шестиугольника равна $720^{\circ}$ (это можно увидеть, например, разрезав его на два четырехугольника).
Значит,
$\angle A + \angle B + \angle C = \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 360^{\circ}$. (1)
Площадь шестиугольника равна сумме площадей треугольников $AB_1C, BCA_1, AC_1B$ и $ABC$ (рис.). Значит, достаточно доказать, что площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $AB_1C, BCA_1$ и $AC_1B$.
Оказывается, из этих треугольников можно сложить треугольник $ABC$. Для этого повернем треугольник $AB_1C$ вокруг точки $C$ так, чтобы образ вершины $B_1$ совпал с точкой $A_1$ (это возможно, так как $CA_1 = CB_1$). Пусть точка $A$ перейдет при этом в точку $A^{ \prime}$.
Имеем $AA^{ \prime}A_1B = 360^{\circ} - AA^{ \prime}A_1C - ACA_1B = 360^{\circ} - ACB_1A - ACA_1B = AAC_1B$. Мы воспользовались равенством (1) и тем, что угол не меняется при повороте. Теперь ясно, что треугольники $AA_1B$ и $AC_1B$ равны по первому признаку.
Осталось доказать, что треугольники $A^{ \prime}BC$ и $ABC$ равны. Но из равенства треугольников $AA_1B$ и $AC_1B$ следует, что $A^{ \prime}B = AB$, так что треугольники $A^{ \prime}BC$ и $ABC$ равны по третьему признаку.
В выпуклом шестиугольнике $AC_1BA_1CB_1$ дано: $AB_1 = AC_1, BC_1 = BA_1, CA_1 = CB_1$ и $\angle A + \angle B + \angle C = \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1$.
Докажите, что площадь треугольника $ABC$ равна половине площади шестиугольника.
Решение:
Заметим, сначала, что сумма всех углов шестиугольника равна $720^{\circ}$ (это можно увидеть, например, разрезав его на два четырехугольника).
Значит,
$\angle A + \angle B + \angle C = \angle A_1 + \angle B_1 + \angle C_1 = 360^{\circ}$. (1)
Площадь шестиугольника равна сумме площадей треугольников $AB_1C, BCA_1, AC_1B$ и $ABC$ (рис.). Значит, достаточно доказать, что площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $AB_1C, BCA_1$ и $AC_1B$.
Оказывается, из этих треугольников можно сложить треугольник $ABC$. Для этого повернем треугольник $AB_1C$ вокруг точки $C$ так, чтобы образ вершины $B_1$ совпал с точкой $A_1$ (это возможно, так как $CA_1 = CB_1$). Пусть точка $A$ перейдет при этом в точку $A^{ \prime}$.
Имеем $AA^{ \prime}A_1B = 360^{\circ} - AA^{ \prime}A_1C - ACA_1B = 360^{\circ} - ACB_1A - ACA_1B = AAC_1B$. Мы воспользовались равенством (1) и тем, что угол не меняется при повороте. Теперь ясно, что треугольники $AA_1B$ и $AC_1B$ равны по первому признаку.
Осталось доказать, что треугольники $A^{ \prime}BC$ и $ABC$ равны. Но из равенства треугольников $AA_1B$ и $AC_1B$ следует, что $A^{ \prime}B = AB$, так что треугольники $A^{ \prime}BC$ и $ABC$ равны по третьему признаку.
