Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3244
2019-05-29 
В ромбе $ABCD$ величина угла $B$ равна $40^{ \circ}$, $E$ - середина $BC$, $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на $DE$. Найдите величину угла $DFC$.
Решение:
Пусть прямые $DE$ и $AB$ пересекаются в точке $G$ (рис.). Тогда треугольники $DEC$ и $BEG$ равны по второму признаку. Следовательно, $BG=CD=BA$. Поэтому точки $A, G$ и $C$ лежат на окружности с центром в точке $B$, причем $AG$ - диаметр. Так как $ \angle AFG = 90^{ \circ}$, точка $F$ лежит на той же окружности по теореме об углах, опирающихся на диаметр.
По теореме об угле, вписанном в окружность, имеем $ \angle GFC = \frac{1}{2} \angle GBC = \frac{1}{2}(180^{\ circ} - 40^{ \circ}) = 70^{ \circ}$. Значит, $ \angle DFC = 180^{ \circ} - \angle GFC = 110^{ \circ}$.
Вариант решения. Можно обойтись без использования окружностей. Известно, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (см. факт 14). Применяя это утверждение к треугольнику $AFG$, получим $BF=BA=BG$.
Треугольники $CBF$ и $FBA$ равнобедренные, поэтому сумма углов $BCF$ и $BAF$ равна углу $CFA$.
Сумма углов четырехугольника $ABCF$ равна $360^{ \circ}$. Поэтому
$ \angle CFA + \angle CFA + 40^{ \circ} = 360^{ \circ}$,
откуда $ \angle CFA = 160^{ \circ}$. Следовательно, $ \angle CFD = 360^{ \circ} - \angle AFC - \angle AFD = 360^{ \circ} - 160^{ \circ} - 90^{ \circ} = 110^{ \circ}$.
Ответ: $100^{ \circ}$.
В ромбе $ABCD$ величина угла $B$ равна $40^{ \circ}$, $E$ - середина $BC$, $F$ - основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на $DE$. Найдите величину угла $DFC$.
Решение:
Пусть прямые $DE$ и $AB$ пересекаются в точке $G$ (рис.). Тогда треугольники $DEC$ и $BEG$ равны по второму признаку. Следовательно, $BG=CD=BA$. Поэтому точки $A, G$ и $C$ лежат на окружности с центром в точке $B$, причем $AG$ - диаметр. Так как $ \angle AFG = 90^{ \circ}$, точка $F$ лежит на той же окружности по теореме об углах, опирающихся на диаметр.
По теореме об угле, вписанном в окружность, имеем $ \angle GFC = \frac{1}{2} \angle GBC = \frac{1}{2}(180^{\ circ} - 40^{ \circ}) = 70^{ \circ}$. Значит, $ \angle DFC = 180^{ \circ} - \angle GFC = 110^{ \circ}$.
Вариант решения. Можно обойтись без использования окружностей. Известно, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (см. факт 14). Применяя это утверждение к треугольнику $AFG$, получим $BF=BA=BG$.
Треугольники $CBF$ и $FBA$ равнобедренные, поэтому сумма углов $BCF$ и $BAF$ равна углу $CFA$.
Сумма углов четырехугольника $ABCF$ равна $360^{ \circ}$. Поэтому
$ \angle CFA + \angle CFA + 40^{ \circ} = 360^{ \circ}$,
откуда $ \angle CFA = 160^{ \circ}$. Следовательно, $ \angle CFD = 360^{ \circ} - \angle AFC - \angle AFD = 360^{ \circ} - 160^{ \circ} - 90^{ \circ} = 110^{ \circ}$.
Ответ: $100^{ \circ}$.
