Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3243
2019-05-29 
Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остается составным. Существует ли такое 1997-значное число?
Решение:
Рассмотрим любое четное число $N$, большее, чем 9992. В силу признака делимости на 2 (см. факт 6), оно оканчивается четной цифрой. Значит, если изменить любую тройку цифр, отличную от последней, то число останется четным, а значит, составным (из числа 9992 можно получить простое число 0002).
Поэтому нам нужно заботиться лишь о замене последней тройки. Мы построим число $N$, которое оканчивается на 000, так что оно будет четным. Заменить последнюю тройку цифр числа $N$ - это все равно что прибавить к $N$ некоторое трехзначное число. Значит, нам достаточно найти число, оканчивающееся на 000 и такое, чтобы числа
$N, N+1, \cdots, N+999$
были составными. Итак, перемножим нечетные числа от 1001 до 1999. Поскольку их 500, а каждое из них меньше 2000, то их произведение меньше, чем
$2000^{500} = 2^{500} \cdot 10^{1500} = 32^{100} \cdot 10^{1500} < 100^{100} \cdot 10^{1500} = 10^{1700}$.
Припишем к этому числу справа несколько нулей, а затем цифру 1 и еще три нуля так, чтобы общее количество цифр равнялось 1997.
Как было замечено, если в полученном числе не менять последнюю цифру, то число будет четным. Если изменить последние три нуля на четное число, то число останется четным. Если же изменить последние три нуля на нечетное число $ \overline{abc}$, то последние четыре цифры образуют число $ \overline{1abc}$, на которое делится построенное число, ибо $ \overline{1abc}$ входит в произведение нечетных чисел от 1001 до 1999.
Ответ: Да, существует.
Докажите, что существует натуральное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку остается составным. Существует ли такое 1997-значное число?
Решение:
Рассмотрим любое четное число $N$, большее, чем 9992. В силу признака делимости на 2 (см. факт 6), оно оканчивается четной цифрой. Значит, если изменить любую тройку цифр, отличную от последней, то число останется четным, а значит, составным (из числа 9992 можно получить простое число 0002).
Поэтому нам нужно заботиться лишь о замене последней тройки. Мы построим число $N$, которое оканчивается на 000, так что оно будет четным. Заменить последнюю тройку цифр числа $N$ - это все равно что прибавить к $N$ некоторое трехзначное число. Значит, нам достаточно найти число, оканчивающееся на 000 и такое, чтобы числа
$N, N+1, \cdots, N+999$
были составными. Итак, перемножим нечетные числа от 1001 до 1999. Поскольку их 500, а каждое из них меньше 2000, то их произведение меньше, чем
$2000^{500} = 2^{500} \cdot 10^{1500} = 32^{100} \cdot 10^{1500} < 100^{100} \cdot 10^{1500} = 10^{1700}$.
Припишем к этому числу справа несколько нулей, а затем цифру 1 и еще три нуля так, чтобы общее количество цифр равнялось 1997.
Как было замечено, если в полученном числе не менять последнюю цифру, то число будет четным. Если изменить последние три нуля на четное число, то число останется четным. Если же изменить последние три нуля на нечетное число $ \overline{abc}$, то последние четыре цифры образуют число $ \overline{1abc}$, на которое делится построенное число, ибо $ \overline{1abc}$ входит в произведение нечетных чисел от 1001 до 1999.
Ответ: Да, существует.
