Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3242
2019-05-29 
Внутри острого угла $XOY$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle XON = \angle YOM$. На отрезке $OX$ выбирается точка $Q$ так, что $\angle NQO = \angle MQX$, а на отрезке $OY$ выбирается точка $P$ так, что $\angle NPO = \angle MPY$. Докажите, что длины ломаных $MPN$ и $MQN$ равны.
Решение:
Пусть точки $L$ и $K$ симметричны точке $M$ относительно прямых $OX$ и $OY$ соответственно (рис. а). Тогда точки $K, P$ и $N$ лежат на одной прямой, причем $NK=NP+PK=NP+PM$. Действительно, отрезок $MK$ перпендикулярен прямой $OY$, и если $A$ - точка пересечения, то $MA=AK$ (это определение симметричной точки). Прямоугольные треугольники $MAP$ и $KAP$ равны по двум катетам, поэтому $ \angle KPA = \angle MPY = \angle NPO$. Кроме того $PK=PM$.
Аналогично, на одной прямой лежат точки $N, Q$ и $L$, а отрезок $NL=NQ+QL=NQ+QM$. Осталось доказать, что $NL=NK$. Для этого докажем, что треугольники $KON$ и $LON$ равны по двум сторонам и углу между ними. В самом деле, так как точки $K$ и $M$ симметричны относительно прямой $OY, KO=MO$ (рис. б). Аналогично, $MO=LO$. Значит, $LO=MO$, сторона $ON$ треугольников $KON$ и $LON$ общая, и
$ \angle KON = \angle KOP + \angle PON = \angle POM + \angle PON = \angle QON + \angle PON = \angle XOY$.
Аналогично проверяется равенство $ \angle LON = \angle XOY$. Итак, $ \angle KON = \angle LON$, треугольники $KON$ и $LON$ равны по первому признаку, и утверждение доказано.
Внутри острого угла $XOY$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle XON = \angle YOM$. На отрезке $OX$ выбирается точка $Q$ так, что $\angle NQO = \angle MQX$, а на отрезке $OY$ выбирается точка $P$ так, что $\angle NPO = \angle MPY$. Докажите, что длины ломаных $MPN$ и $MQN$ равны.
Решение:
Пусть точки $L$ и $K$ симметричны точке $M$ относительно прямых $OX$ и $OY$ соответственно (рис. а). Тогда точки $K, P$ и $N$ лежат на одной прямой, причем $NK=NP+PK=NP+PM$. Действительно, отрезок $MK$ перпендикулярен прямой $OY$, и если $A$ - точка пересечения, то $MA=AK$ (это определение симметричной точки). Прямоугольные треугольники $MAP$ и $KAP$ равны по двум катетам, поэтому $ \angle KPA = \angle MPY = \angle NPO$. Кроме того $PK=PM$.
Аналогично, на одной прямой лежат точки $N, Q$ и $L$, а отрезок $NL=NQ+QL=NQ+QM$. Осталось доказать, что $NL=NK$. Для этого докажем, что треугольники $KON$ и $LON$ равны по двум сторонам и углу между ними. В самом деле, так как точки $K$ и $M$ симметричны относительно прямой $OY, KO=MO$ (рис. б). Аналогично, $MO=LO$. Значит, $LO=MO$, сторона $ON$ треугольников $KON$ и $LON$ общая, и
$ \angle KON = \angle KOP + \angle PON = \angle POM + \angle PON = \angle QON + \angle PON = \angle XOY$.
Аналогично проверяется равенство $ \angle LON = \angle XOY$. Итак, $ \angle KON = \angle LON$, треугольники $KON$ и $LON$ равны по первому признаку, и утверждение доказано.
