Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 324
2014-06-07 
Доказать, что для любых векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ справедливо равенство
$\sum (\varepsilon_{1}\mathbf{a}_{1} + \varepsilon_{2}\mathbf{a}_{2} + \varepsilon_{3}\mathbf{a}_{3})^{2} = 8 \sum_{k=1}^{3} \mathbf{a}^{2}_{k}$,
в котором сумма слева берется по всем 8 различным наборам чисел $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3} \in \{ -1; 1 \}$. Обобщить это утверждение на случай любого числа $n \in \mathbf{N}$ векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$.
Решение:
Обозначим через $A_{n}$ множество $2^{n}$ всевозможных наборов
$\varepsilon = (\varepsilon_{1}; \cdots ; \varepsilon_{n})$, I
состоящих из чисел $\varepsilon_{i} \in \{ -1; 1 \} (i = 1, \cdots, n)$. Введем также обозначение
$\mathbf{a}_{\varepsilon} = \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} \mathbf{a}_{k}$,
где $\varepsilon \in A_{n}$ а $\mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$ - произвольные векторы, и докажем индукцией по $n \in \mathbf{N}$ следующее равенство:
$\sum_{\varepsilon \in A_{n}} \mathbf{a}^{2}_{\varepsilon} = 2^{n} \sum_{k=1}^{n} \mathbf{k}^{2}$.
При $n = 1$ равенство верно, так как
$\sum_{\varepsilon \in A_{1}} \mathbf{a}^{2}_{\varepsilon} = \mathbf{a}_{1}^{2} + (- \mathbf{a}_{1})^{2} = 2 \mathbf{a}_{1}^{2} = 2^{1} \sum_{k=1}^{1} \mathbf{a}_{k}^{2}$.
Пусть равенство уже доказано для некоторого значения $n – 1 \in \mathbf{N}$. Если в наборе
$\varepsilon = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{n-1}; \varepsilon_{n})$
выделить набор
$\varepsilon^{\prime} = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{n-1})$
и обозначить
$\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}} = \sum_{k=1}^{n-1} \varepsilon_{k} \mathbf{a}_{k}$,
то, используя справедливое для любых двух векторов $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ равенство
$(\mathbf{b} + \mathbf{c})^{2} + (\mathbf{b} - \mathbf{c})^{2} = 2 \mathbf{b}^{2} + 2 \mathbf{c}^{2}$
(ср. с равенством параллелограмма), можно получить требуемое равенство для значения $n$:
$\sum_{\varepsilon \in A_{n}} \mathbf{a}_{\varepsilon}^{2} = \sum_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}}((\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}} + \mathbf{a}_{n})^{2} + (\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}} - \mathbf{a}_{n})^{2}) = $
$= \sum_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}} 2 (\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}}^{2} + \mathbf{a}_{n}^{2}) = 2 \cdot 2^{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{a}_{k}^{2} + 2 \cdot 2 ^{n-1}\mathbf{a}^{2}_{n} = 2^{n} \sum_{k=1}^{n} \mathbf{a}^{2}_{k}$.
Утверждение доказано.
Доказать, что для любых векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \mathbf{a}_{3}$ справедливо равенство
$\sum (\varepsilon_{1}\mathbf{a}_{1} + \varepsilon_{2}\mathbf{a}_{2} + \varepsilon_{3}\mathbf{a}_{3})^{2} = 8 \sum_{k=1}^{3} \mathbf{a}^{2}_{k}$,
в котором сумма слева берется по всем 8 различным наборам чисел $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3} \in \{ -1; 1 \}$. Обобщить это утверждение на случай любого числа $n \in \mathbf{N}$ векторов $\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$.
Решение:
Обозначим через $A_{n}$ множество $2^{n}$ всевозможных наборов
$\varepsilon = (\varepsilon_{1}; \cdots ; \varepsilon_{n})$, I
состоящих из чисел $\varepsilon_{i} \in \{ -1; 1 \} (i = 1, \cdots, n)$. Введем также обозначение
$\mathbf{a}_{\varepsilon} = \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_{k} \mathbf{a}_{k}$,
где $\varepsilon \in A_{n}$ а $\mathbf{a}_{1}, \cdots, \mathbf{a}_{n}$ - произвольные векторы, и докажем индукцией по $n \in \mathbf{N}$ следующее равенство:
$\sum_{\varepsilon \in A_{n}} \mathbf{a}^{2}_{\varepsilon} = 2^{n} \sum_{k=1}^{n} \mathbf{k}^{2}$.
При $n = 1$ равенство верно, так как
$\sum_{\varepsilon \in A_{1}} \mathbf{a}^{2}_{\varepsilon} = \mathbf{a}_{1}^{2} + (- \mathbf{a}_{1})^{2} = 2 \mathbf{a}_{1}^{2} = 2^{1} \sum_{k=1}^{1} \mathbf{a}_{k}^{2}$.
Пусть равенство уже доказано для некоторого значения $n – 1 \in \mathbf{N}$. Если в наборе
$\varepsilon = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{n-1}; \varepsilon_{n})$
выделить набор
$\varepsilon^{\prime} = (\varepsilon_{1}; \cdots; \varepsilon_{n-1})$
и обозначить
$\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}} = \sum_{k=1}^{n-1} \varepsilon_{k} \mathbf{a}_{k}$,
то, используя справедливое для любых двух векторов $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ равенство
$(\mathbf{b} + \mathbf{c})^{2} + (\mathbf{b} - \mathbf{c})^{2} = 2 \mathbf{b}^{2} + 2 \mathbf{c}^{2}$
(ср. с равенством параллелограмма), можно получить требуемое равенство для значения $n$:
$\sum_{\varepsilon \in A_{n}} \mathbf{a}_{\varepsilon}^{2} = \sum_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}}((\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}} + \mathbf{a}_{n})^{2} + (\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}} - \mathbf{a}_{n})^{2}) = $
$= \sum_{\varepsilon^{\prime} \in A_{n-1}} 2 (\mathbf{a}_{\varepsilon^{\prime}}^{2} + \mathbf{a}_{n}^{2}) = 2 \cdot 2^{n-1} \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{a}_{k}^{2} + 2 \cdot 2 ^{n-1}\mathbf{a}^{2}_{n} = 2^{n} \sum_{k=1}^{n} \mathbf{a}^{2}_{k}$.
Утверждение доказано.
