Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3238
2019-05-29 
Точка $X$, лежащая вне непересекающихся окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ такова, что отрезки касательных, проведенных из $X$ к $\omega_1$ и $\omega_2$, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$.
Решение:
Обозначим центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ через $O_1$ и $O_2$, а радиусы - через $r_1$ и $r_2$ соответственно.
Рассмотрим точку $D$ пересечения общей внутренней касательной к окружностям с отрезком $O_1O_2$. Тогда
$ \frac{DO_1}{DO_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
Пусть $AC$ - одна из диагоналей указанного четырехугольника (рис.). Найдем точку $S$ пересечения диагонали $AC$ и отрезка $O_1O_2$. Из теоремы синусов, получаем соотношения
$ \frac{SO_1}{\sin{ \angle O_1AS}} = \frac{r_1}{ \sin{ \angle O_1SA}}, \frac{SO_2}{ \sin{ \angle O_2CS}} = \frac{r_2}{ \sin{ \angle O_2SC}}$. (1)
Проведем окружность с центром в точке $X$, проходящую через точки $A$ и $C$. Прямые $AO_1$ и $CO_2$ будут касательными к ней. По теореме об угле между хордой и касательной
$ \angle O_1AS + \angle O_2CS = \frac{1}{2}( \breve{AC}+ \breve{CA}) = \pi$,
значит $ \sin \angle O_1AS = \sin \angle O_2CS$. Углы $O_1SA$ и $O_2SC$ равны как накрест лежащие. Поэтому из соотношений (1) следует, что
$ \frac{SO_1}{SO_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
Поскольку существует единственная точка, делящая отрезок в данном отношении, точки $D$ и $S$ совпадают. Аналогичные соображения верны и для второй диагонали. Таким образом доказано, что две диагонали четырехугольника и две общих внутренних касательных пересекают линию центров в одной точке. Из этого следует требуемое утверждение.
Точка $X$, лежащая вне непересекающихся окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ такова, что отрезки касательных, проведенных из $X$ к $\omega_1$ и $\omega_2$, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$.
Решение:
Обозначим центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ через $O_1$ и $O_2$, а радиусы - через $r_1$ и $r_2$ соответственно.
Рассмотрим точку $D$ пересечения общей внутренней касательной к окружностям с отрезком $O_1O_2$. Тогда
$ \frac{DO_1}{DO_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
Пусть $AC$ - одна из диагоналей указанного четырехугольника (рис.). Найдем точку $S$ пересечения диагонали $AC$ и отрезка $O_1O_2$. Из теоремы синусов, получаем соотношения
$ \frac{SO_1}{\sin{ \angle O_1AS}} = \frac{r_1}{ \sin{ \angle O_1SA}}, \frac{SO_2}{ \sin{ \angle O_2CS}} = \frac{r_2}{ \sin{ \angle O_2SC}}$. (1)
Проведем окружность с центром в точке $X$, проходящую через точки $A$ и $C$. Прямые $AO_1$ и $CO_2$ будут касательными к ней. По теореме об угле между хордой и касательной
$ \angle O_1AS + \angle O_2CS = \frac{1}{2}( \breve{AC}+ \breve{CA}) = \pi$,
значит $ \sin \angle O_1AS = \sin \angle O_2CS$. Углы $O_1SA$ и $O_2SC$ равны как накрест лежащие. Поэтому из соотношений (1) следует, что
$ \frac{SO_1}{SO_2} = \frac{r_1}{r_2}$.
Поскольку существует единственная точка, делящая отрезок в данном отношении, точки $D$ и $S$ совпадают. Аналогичные соображения верны и для второй диагонали. Таким образом доказано, что две диагонали четырехугольника и две общих внутренних касательных пересекают линию центров в одной точке. Из этого следует требуемое утверждение.
