Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3237
2019-05-29 
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что число $n$ представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа $n-1$ и $n+1$ - нет.
Решение:
Первый способ. Заметим прежде всего, что квадраты целых чисел при делении на 4 могут давать остатки 0 или 1, а при делении на 9 - остатки 0, 1, 4 или 7 (см. комментарий). Поэтому числа вида $4k+3$ и $9k+3$ не представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел.
Для любого натурального числа $k$ рассмотрим число
$n = (36k+2)^2 +4^2$.
Число $n-1$ не представимо в виде суммы двух квадратов, так как при делении на 4 дает остаток 3, а число $n+1$ - так как при делении на 9 дает остаток 3.
Второй способ. Возьмем в качестве $n$ число
$9^k + 1 = (3^k)^2 + 1^2$.
Тогда $n+1$ дает остаток 2 при делении на 3 и, поэтому, не представляется в виде суммы квадратов.
Докажем, что $n-1=9^k$ не представляется в виде суммы квадратов натуральных чисел. Пусть это не так, $9^k=a^2+b^2$. Без ограничения общности хотя бы одно из чисел $a, b$ не делится на 3 (иначе сократим равенство на 9). Тогда и второе число не делится на 3. Но квадрат числа, не делящегося на 3, дает при делении на 3 остаток 1, значит $a^2 +b^2$ не может делиться на 3 - противоречие.
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что число $n$ представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа $n-1$ и $n+1$ - нет.
Решение:
Первый способ. Заметим прежде всего, что квадраты целых чисел при делении на 4 могут давать остатки 0 или 1, а при делении на 9 - остатки 0, 1, 4 или 7 (см. комментарий). Поэтому числа вида $4k+3$ и $9k+3$ не представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел.
Для любого натурального числа $k$ рассмотрим число
$n = (36k+2)^2 +4^2$.
Число $n-1$ не представимо в виде суммы двух квадратов, так как при делении на 4 дает остаток 3, а число $n+1$ - так как при делении на 9 дает остаток 3.
Второй способ. Возьмем в качестве $n$ число
$9^k + 1 = (3^k)^2 + 1^2$.
Тогда $n+1$ дает остаток 2 при делении на 3 и, поэтому, не представляется в виде суммы квадратов.
Докажем, что $n-1=9^k$ не представляется в виде суммы квадратов натуральных чисел. Пусть это не так, $9^k=a^2+b^2$. Без ограничения общности хотя бы одно из чисел $a, b$ не делится на 3 (иначе сократим равенство на 9). Тогда и второе число не делится на 3. Но квадрат числа, не делящегося на 3, дает при делении на 3 остаток 1, значит $a^2 +b^2$ не может делиться на 3 - противоречие.
