Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3234
2019-05-29 
Докажите, что для любого многочлена $P(x)$ степени $n$ с натуральными коэффициентами найдется такое целое число $k$, что числа $P(k), P(k+1), \cdots, P(k+1996)$ будут составными, если а) $n = 1$; б) $n$ - произвольное натуральное число.
Решение:
Нетрудно видеть, что (поскольку коэффициенты - натуральные числа) $P(N)>P(M)$ при $N>M>0$. Кроме того, $P(N)>1$ при $N>0$.
Далее, заметим, что если $k \mid x-y$, то $k \mid P(x) - P(y)$. Положим
$A=P(1)P(2) \cdots P(1996)$.
Тогда $P(k) \mid P(A+k)-P(k)$ при $k=1, \cdots, 1996$ (так как $P(k) \mid A$). Значит, $P(k) \mid P(A+k)$. Но $P(k)>1$ и $P(A+k) > P(k)$. Значит, $P(A+k)$ - составное число при $k=1, \cdots, 1996$. Что и требовалось доказать.
Докажите, что для любого многочлена $P(x)$ степени $n$ с натуральными коэффициентами найдется такое целое число $k$, что числа $P(k), P(k+1), \cdots, P(k+1996)$ будут составными, если а) $n = 1$; б) $n$ - произвольное натуральное число.
Решение:
Нетрудно видеть, что (поскольку коэффициенты - натуральные числа) $P(N)>P(M)$ при $N>M>0$. Кроме того, $P(N)>1$ при $N>0$.
Далее, заметим, что если $k \mid x-y$, то $k \mid P(x) - P(y)$. Положим
$A=P(1)P(2) \cdots P(1996)$.
Тогда $P(k) \mid P(A+k)-P(k)$ при $k=1, \cdots, 1996$ (так как $P(k) \mid A$). Значит, $P(k) \mid P(A+k)$. Но $P(k)>1$ и $P(A+k) > P(k)$. Значит, $P(A+k)$ - составное число при $k=1, \cdots, 1996$. Что и требовалось доказать.
