Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3231
2019-05-29 
Точки $P_1, P_2, \cdots, P_{n-1}$ делят сторону $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ на $n$ равных частей: $BP_1 = P_1P_2 = \cdots = P_{n-1}C$. Точка $M$ выбрана на стороне $AC$ так, что $AM = BP_1$. Докажите, что $\angle AP_1M + \angle AP_2M + \cdots + \angle AP_{n-1}M = 30^{ \circ}$, если а) $n = 3$; б) $n$ - произвольное натуральное число (рис.).
Решение:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому, рассматривая треугольники $AP_{k}M$, получаем $ \angle P_{k}MC = \angle P_{k}AC + \angle AP_{k}M$, т. е. $ \angle AP_{k}M = \angle P_{k}MC - \angle P_{k}AC$. Складывая все такие равенства, видим, что искомая сумма равна
$(\angle P_{1}MC + \cdots + \angle P_{n-1}MC) - ( \angle P_{1}AC + \cdots + \angle P_{n-1}AC)$.
Пусть $n$ нечетно (случай четного $n$ аналогичен). Симметрия относительно высоты равностороннего треугольника $P_{1}MC$ показывает, что $ \angle P_{k}MC + \angle P_{n+1-k}MC = 60^{ \circ}$ (рис.), тогда слагаемые в первой сумме разбиваются на $ \frac{n-3}{2}$ пар, в каждой паре сумма равна $60^{ \circ}$, кроме того, двум слагаемым «не хватило» пары: $ \angle P_{1}MC = 60^{ \circ}, \angle P_{ \frac{n+1}{2}}MC = 30^{\circ}$, значит, первая сумма равна $30^{ \circ} \cdot n$. Во второй сумме слагаемые разбиваются на $ \frac{n-1}{2}$ пар с суммой $60^{ \circ}$. Значит, вторая сумма равна $30^{ \circ} \cdot (n-1)$. Отсюда немедленно следует утверждение задачи.
Точки $P_1, P_2, \cdots, P_{n-1}$ делят сторону $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ на $n$ равных частей: $BP_1 = P_1P_2 = \cdots = P_{n-1}C$. Точка $M$ выбрана на стороне $AC$ так, что $AM = BP_1$. Докажите, что $\angle AP_1M + \angle AP_2M + \cdots + \angle AP_{n-1}M = 30^{ \circ}$, если а) $n = 3$; б) $n$ - произвольное натуральное число (рис.).
Решение:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому, рассматривая треугольники $AP_{k}M$, получаем $ \angle P_{k}MC = \angle P_{k}AC + \angle AP_{k}M$, т. е. $ \angle AP_{k}M = \angle P_{k}MC - \angle P_{k}AC$. Складывая все такие равенства, видим, что искомая сумма равна
$(\angle P_{1}MC + \cdots + \angle P_{n-1}MC) - ( \angle P_{1}AC + \cdots + \angle P_{n-1}AC)$.
Пусть $n$ нечетно (случай четного $n$ аналогичен). Симметрия относительно высоты равностороннего треугольника $P_{1}MC$ показывает, что $ \angle P_{k}MC + \angle P_{n+1-k}MC = 60^{ \circ}$ (рис.), тогда слагаемые в первой сумме разбиваются на $ \frac{n-3}{2}$ пар, в каждой паре сумма равна $60^{ \circ}$, кроме того, двум слагаемым «не хватило» пары: $ \angle P_{1}MC = 60^{ \circ}, \angle P_{ \frac{n+1}{2}}MC = 30^{\circ}$, значит, первая сумма равна $30^{ \circ} \cdot n$. Во второй сумме слагаемые разбиваются на $ \frac{n-1}{2}$ пар с суммой $60^{ \circ}$. Значит, вторая сумма равна $30^{ \circ} \cdot (n-1)$. Отсюда немедленно следует утверждение задачи.
