Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 323
2014-06-07 
Доказать, что при любом разбиении пространства на 3 множества хотя бы одно из множеств отличается тем, что в нем для каждого значения $a > 0$ можно выбрать 2 точки, расстояние между которыми равно $a$.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, пространство разбито на 3 множества $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ и существуют такие положительные числа $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}$, что при каждом значении $i = 1, 2, 3$ между любыми точками множества $M_{i}$ не реализуется расстояние $a_{i}$. Рассмотрим тетраэдр ABCD с ребрами
$AB = a_{1}, AC = BC = a_{2}, AD = BD = CD = a_{3}$
(такой тетраэдр существует, поскольку центр О окружности, описанной около равнобедренного остроугольного треугольника ABC с нужными сторонами, лежит внутри него, а значит,
$OA = OB= OC < a_{2} \leq a_{3}$
и на перпендикуляре к плоскости ABC, проходящем через точку О, найдется искомая вершина D) и расположим его в пространстве так, что
$A, B, C \not \in M_{3}$ и $A, B \not \in M_{2}$.
Для этого достаточно поместить вершину D в какую-либо точку множества $M_{3}$ (если $M_{3} = \varnothing$, то автоматически $A, B, C \not \in M_{3}$), а вершину С в какую-либо точку множества, удаленную от точки D на расстояние $a_{3}$ (если таких точек не найдется, то автоматически $A, B \not \in M_{2}$). Тогда получим, что $A, B \in M_{1}$ и $AB = a_{1}$, что противоречит сделанному предположению и доказывает утверждение задачи.
Доказать, что при любом разбиении пространства на 3 множества хотя бы одно из множеств отличается тем, что в нем для каждого значения $a > 0$ можно выбрать 2 точки, расстояние между которыми равно $a$.
Решение:
Пусть, вопреки утверждению задачи, пространство разбито на 3 множества $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ и существуют такие положительные числа $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}$, что при каждом значении $i = 1, 2, 3$ между любыми точками множества $M_{i}$ не реализуется расстояние $a_{i}$. Рассмотрим тетраэдр ABCD с ребрами
$AB = a_{1}, AC = BC = a_{2}, AD = BD = CD = a_{3}$
(такой тетраэдр существует, поскольку центр О окружности, описанной около равнобедренного остроугольного треугольника ABC с нужными сторонами, лежит внутри него, а значит,
$OA = OB= OC < a_{2} \leq a_{3}$
и на перпендикуляре к плоскости ABC, проходящем через точку О, найдется искомая вершина D) и расположим его в пространстве так, что
$A, B, C \not \in M_{3}$ и $A, B \not \in M_{2}$.
Для этого достаточно поместить вершину D в какую-либо точку множества $M_{3}$ (если $M_{3} = \varnothing$, то автоматически $A, B, C \not \in M_{3}$), а вершину С в какую-либо точку множества, удаленную от точки D на расстояние $a_{3}$ (если таких точек не найдется, то автоматически $A, B \not \in M_{2}$). Тогда получим, что $A, B \in M_{1}$ и $AB = a_{1}$, что противоречит сделанному предположению и доказывает утверждение задачи.
