Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3229
2019-05-29 
Положительные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $a^2 + b^2 - ab = c^2$. Докажите, что $(a-c)(b-c) \leq 0$.
Решение:
Первый способ. Можно считать, что $a \geq b$ (случай $a \leq b$ аналогичен). Тогда $b^2 \leq ab, a^2 \geq ab$, поэтому
$a^2 \geq a^2 + b^2 - ab \leq b^2$,
откуда $a \geq c \geq b$. Значит, первый сомножитель в выражении $(a-c)(b-c)$ неотрицателен, а второй - неположителен. Поэтому произведение неположительно, что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим треугольник со сторонами $a$ и $b$ и углом $60^{ \circ}$ между ними (рис.). По теореме косинусов, его третья сторона равна
$ \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos{60^{ \circ}}}=c$.
Поскольку наибольший угол любого треугольника не меньше $60^{ \circ}$, а наименьший - не больше $60^{ \circ}$, угол $60^{ \circ}$ является средним по величине в треугольнике. Из того, что против большего угла треугольника лежит большая сторона, следует, что либо $a \leq c \leq b$, либо $b \leq c \leq a$. Значит, из двух сомножителей $a-c$ и $b-c$ один неотрицателен, а другой неположителен. Поэтому их произведение неположительно.
Положительные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $a^2 + b^2 - ab = c^2$. Докажите, что $(a-c)(b-c) \leq 0$.
Решение:
Первый способ. Можно считать, что $a \geq b$ (случай $a \leq b$ аналогичен). Тогда $b^2 \leq ab, a^2 \geq ab$, поэтому
$a^2 \geq a^2 + b^2 - ab \leq b^2$,
откуда $a \geq c \geq b$. Значит, первый сомножитель в выражении $(a-c)(b-c)$ неотрицателен, а второй - неположителен. Поэтому произведение неположительно, что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим треугольник со сторонами $a$ и $b$ и углом $60^{ \circ}$ между ними (рис.). По теореме косинусов, его третья сторона равна
$ \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos{60^{ \circ}}}=c$.
Поскольку наибольший угол любого треугольника не меньше $60^{ \circ}$, а наименьший - не больше $60^{ \circ}$, угол $60^{ \circ}$ является средним по величине в треугольнике. Из того, что против большего угла треугольника лежит большая сторона, следует, что либо $a \leq c \leq b$, либо $b \leq c \leq a$. Значит, из двух сомножителей $a-c$ и $b-c$ один неотрицателен, а другой неположителен. Поэтому их произведение неположительно.
