Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3227
2019-05-29 
Пусть $A$ и $B$ - точки, лежащие на окружности. Они разбивают окружность на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах $AB$.
Комментарий. Из условия не вполне ясно, годятся ли хорды, проходящие через точки $A$ и $B$. Мы будем считать, что такие хорды не годятся. То есть рассматриваются середины хорд, концы которых лежат на разных открытых дугах $AB$.
Решение:
Сначала сформулируем два простых утверждения:
1) отрезок, соединяющий середину хорды с центром окружности, перпендикулярен этой хорде;
2) условие, что концы хорды лежат на разных дугах $AB$, эквивалентно тому, что хорда пересекает отрезок $AB$ (во внутренней точке).
Тогда задачу можно переформулировать так: даны точки $A, B$ и $O (AO=BO)$; требуется найти геометрическое место таких точек $M$, что прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная отрезку $MO$, пересекает отрезок $AB$.
Докажем следующее утверждение: перпендикуляр к отрезку $MO$ пересекает отрезок $AB$ тогда и только тогда, когда в точности один из двух углов $OMA$ и $OMB$ тупой.
Действительно, перпендикуляр пересекает отрезок $AB$ тогда и только тогда, когда точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно этого перпендикуляра. Пусть, например, точка $B$ лежит в той же полуплоскости, что и точка $O$, а точка $A$ - в другой полуплоскости. Тогда $ \angle AMO > 90^{\circ}, \angle BMO < 90^{ \circ}$ (рис.). Если $A$ и $O$ лежат в одной полуплоскости, а $B$ - в другой, то $ \angle AMO$ острый, а $ \angle BMO$ тупой. Если все точки лежат в одной полуплоскости, то оба угла острые, если точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости, а точка $O$ - в другой, то оба угла тупые. Мы разобрали все возможные случаи, так что утверждение доказано.
Геометрическое место точек $M$ таких, что $ \angle AMO>90^{ \circ}$, представляет собой внутренность круга, построенного на отрезке $AO$ как на диаметре, а ГМТ $M$ таких, что $ \angle BMO>90^{ \circ}$, есть внутренность круга построенного на $BO$ как на диаметре. Значит, искомое ГМТ состоит из точек, лежащих внутри в точности одного из двух кругов с диаметрами $AO$ и $BO$. Следовательно, это ГМТ представляет собой внутренность этих кругов, за исключением их общей части (см. рис.).
Ответ: Пусть $O$ - центр окружности. Рассмотрим круги, построенные на отрезках $AO$ и $BO$ как на диаметрах. Искомое ГМТ представляет собой внутренность этих кругов, за исключением их общей части (рис.).
\
Пусть $A$ и $B$ - точки, лежащие на окружности. Они разбивают окружность на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах $AB$.
Комментарий. Из условия не вполне ясно, годятся ли хорды, проходящие через точки $A$ и $B$. Мы будем считать, что такие хорды не годятся. То есть рассматриваются середины хорд, концы которых лежат на разных открытых дугах $AB$.
Решение:
Сначала сформулируем два простых утверждения:
1) отрезок, соединяющий середину хорды с центром окружности, перпендикулярен этой хорде;
2) условие, что концы хорды лежат на разных дугах $AB$, эквивалентно тому, что хорда пересекает отрезок $AB$ (во внутренней точке).
Тогда задачу можно переформулировать так: даны точки $A, B$ и $O (AO=BO)$; требуется найти геометрическое место таких точек $M$, что прямая, проходящая через точку $M$ и перпендикулярная отрезку $MO$, пересекает отрезок $AB$.
Докажем следующее утверждение: перпендикуляр к отрезку $MO$ пересекает отрезок $AB$ тогда и только тогда, когда в точности один из двух углов $OMA$ и $OMB$ тупой.
Действительно, перпендикуляр пересекает отрезок $AB$ тогда и только тогда, когда точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно этого перпендикуляра. Пусть, например, точка $B$ лежит в той же полуплоскости, что и точка $O$, а точка $A$ - в другой полуплоскости. Тогда $ \angle AMO > 90^{\circ}, \angle BMO < 90^{ \circ}$ (рис.). Если $A$ и $O$ лежат в одной полуплоскости, а $B$ - в другой, то $ \angle AMO$ острый, а $ \angle BMO$ тупой. Если все точки лежат в одной полуплоскости, то оба угла острые, если точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости, а точка $O$ - в другой, то оба угла тупые. Мы разобрали все возможные случаи, так что утверждение доказано.
Геометрическое место точек $M$ таких, что $ \angle AMO>90^{ \circ}$, представляет собой внутренность круга, построенного на отрезке $AO$ как на диаметре, а ГМТ $M$ таких, что $ \angle BMO>90^{ \circ}$, есть внутренность круга построенного на $BO$ как на диаметре. Значит, искомое ГМТ состоит из точек, лежащих внутри в точности одного из двух кругов с диаметрами $AO$ и $BO$. Следовательно, это ГМТ представляет собой внутренность этих кругов, за исключением их общей части (см. рис.).
Ответ: Пусть $O$ - центр окружности. Рассмотрим круги, построенные на отрезках $AO$ и $BO$ как на диаметрах. Искомое ГМТ представляет собой внутренность этих кругов, за исключением их общей части (рис.).
\
