Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3226
2019-05-29 
Целые числа от 1 до $n$ записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат а) при $n = 9$, б) при $n = 11$, в) при $n = 1996$.
Решение:
а) Сумма числа 9 и числа, записанного под ним, заключена между 10 и 18. Так как на этом отрезке есть только один точный квадрат, под числом 9 должно быть записано число 7. Аналогично, число 7 должно быть записано над числом 9. Также проверяется, что под числами 4, 5 и 6 должны быть записаны числа 5, 4 и 3 соответственно. Теперь уже нетрудно получить ответ:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 2 6 5 4 3 9 1 7
б) Нетрудно видеть, что под числом 11 может быть записано только число 5, но под числом 4 тоже может быть записано только число 5. Противоречие.
в) Идея состоит в том, чтобы свести задачу к аналогичной задаче для меньшего $n$. Запишем под числом $k$ число $2025-k$ для всех $k=29, 30, \cdots, 1996$. Тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная с 29-го, равна $45^2$, а числа от 1 до 28 остались «неиспользованными». Значит, задача сводится к случаю $n=28$.
Далее под числами $k=21, 22, \cdots, 28$ запишем числа $49-k$. Задача свелась к $n=20$. Затем под числами $k=16, 17, 18, 19, 20$ запишем числа $36-k$. Задача свелась к случаю $n=15$ и, наконец, каждому $k=1, 2, \cdots, 15$ поставим в соответствие число $16-k$.
Ответ: a) Может; б) не может; в) может.
Целые числа от 1 до $n$ записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат а) при $n = 9$, б) при $n = 11$, в) при $n = 1996$.
Решение:
а) Сумма числа 9 и числа, записанного под ним, заключена между 10 и 18. Так как на этом отрезке есть только один точный квадрат, под числом 9 должно быть записано число 7. Аналогично, число 7 должно быть записано над числом 9. Также проверяется, что под числами 4, 5 и 6 должны быть записаны числа 5, 4 и 3 соответственно. Теперь уже нетрудно получить ответ:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 2 6 5 4 3 9 1 7
б) Нетрудно видеть, что под числом 11 может быть записано только число 5, но под числом 4 тоже может быть записано только число 5. Противоречие.
в) Идея состоит в том, чтобы свести задачу к аналогичной задаче для меньшего $n$. Запишем под числом $k$ число $2025-k$ для всех $k=29, 30, \cdots, 1996$. Тогда сумма чисел в каждом столбце, начиная с 29-го, равна $45^2$, а числа от 1 до 28 остались «неиспользованными». Значит, задача сводится к случаю $n=28$.
Далее под числами $k=21, 22, \cdots, 28$ запишем числа $49-k$. Задача свелась к $n=20$. Затем под числами $k=16, 17, 18, 19, 20$ запишем числа $36-k$. Задача свелась к случаю $n=15$ и, наконец, каждому $k=1, 2, \cdots, 15$ поставим в соответствие число $16-k$.
Ответ: a) Может; б) не может; в) может.
