Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3224
2019-05-27 
Докажите, что если для чисел $a, b и c$ выполняются неравенства $|a - b| \geq |c|, |b - c| \geq |a|, |c - a| \geq |b|$, то одно из этих чисел равно сумме двух других.
Решение:
Первый способ. Предположим, сначала, что одно из чисел равно нулю. Пусть, например, $a=0$ (остальные случаи аналогичны). Тогда получим неравенства: $|b| \geq |c|$ и $|c| \geq |b|$, откуда $|b|=|c|$, т. е. $b=c$ или $b=-c$. В первом случае $b=a+c$, во втором $a=b+c$. Все доказано.
Пусть теперь ни одно из чисел $a, b$ и $c$ не равно нулю. Без ограничения общности можно считать, что число $a$ - максимальное по модулю среди чисел $a, b$ и $c$ (т. е. $|a| \geq |b|, |a| \geq|c|$). Также можно считать, что $a>0$ (в противном случае произведем замену: $a=-a_1, b=-b_1, c=-c_1$). Тогда $|a|=a, |a-b|=a-b, |a-c|=a-c$.
При этих предположениях из неравенства $|b-c| \geq |a|$ следует, что числа $b$ и $c$ не могут иметь одинаковых знаков (подумайте, почему).
Возможны два случая.
1. $b>0, c<0$. Тогда $|b|=b, |c|=-c$ и $|b-c|=b-c$, так что мы получаем неравенства $a-b \geq -c, b-c \geq a, a-c \geq b$. Из первого неравенства следует, что $b \leq a + c$, из второго - что $b \geq a+c$, значит, $b=a+c$.
2. $b<0, c>0$. Тогда, аналогично предыдущему случаю, получим неравенства $a-b \geq c, c-b \geq a, a-c \geq -b$. Следовательно, в этом случае одновременно выполняются неравенства $c \geq a + b, c \leq a+b$, т. е. $c=a+b$. Таким образом, в обоих случаях утверждение доказано.
Второй способ. Возведем неравенство $|a-b| \geq |c|$ в квадрат и перенесем все члены в левую часть, получим $(a-b)^2-c^2 \geq 0$. Разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов, получим: $(a-b-c)(a-b+c) \geq 0$, или, что то же самое,
$(a-b-c)(b-c-a) \leq 0$.
Аналогично получаем, что произведения $(b-c-a)(c-a-b)$ и $(c-a-b)(a-b-c)$ также неположительны.
Перемножая эти произведения находим, что
$(a-b-c)^2(b-c-a)^2(c-a-b)^2 \leq 0$.
Мы видим, что произведение неотрицательных чисел не превосходит 0, значит, одно из этих чисел равно 0, откуда следует требуемое утверждение.
Докажите, что если для чисел $a, b и c$ выполняются неравенства $|a - b| \geq |c|, |b - c| \geq |a|, |c - a| \geq |b|$, то одно из этих чисел равно сумме двух других.
Решение:
Первый способ. Предположим, сначала, что одно из чисел равно нулю. Пусть, например, $a=0$ (остальные случаи аналогичны). Тогда получим неравенства: $|b| \geq |c|$ и $|c| \geq |b|$, откуда $|b|=|c|$, т. е. $b=c$ или $b=-c$. В первом случае $b=a+c$, во втором $a=b+c$. Все доказано.
Пусть теперь ни одно из чисел $a, b$ и $c$ не равно нулю. Без ограничения общности можно считать, что число $a$ - максимальное по модулю среди чисел $a, b$ и $c$ (т. е. $|a| \geq |b|, |a| \geq|c|$). Также можно считать, что $a>0$ (в противном случае произведем замену: $a=-a_1, b=-b_1, c=-c_1$). Тогда $|a|=a, |a-b|=a-b, |a-c|=a-c$.
При этих предположениях из неравенства $|b-c| \geq |a|$ следует, что числа $b$ и $c$ не могут иметь одинаковых знаков (подумайте, почему).
Возможны два случая.
1. $b>0, c<0$. Тогда $|b|=b, |c|=-c$ и $|b-c|=b-c$, так что мы получаем неравенства $a-b \geq -c, b-c \geq a, a-c \geq b$. Из первого неравенства следует, что $b \leq a + c$, из второго - что $b \geq a+c$, значит, $b=a+c$.
2. $b<0, c>0$. Тогда, аналогично предыдущему случаю, получим неравенства $a-b \geq c, c-b \geq a, a-c \geq -b$. Следовательно, в этом случае одновременно выполняются неравенства $c \geq a + b, c \leq a+b$, т. е. $c=a+b$. Таким образом, в обоих случаях утверждение доказано.
Второй способ. Возведем неравенство $|a-b| \geq |c|$ в квадрат и перенесем все члены в левую часть, получим $(a-b)^2-c^2 \geq 0$. Разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов, получим: $(a-b-c)(a-b+c) \geq 0$, или, что то же самое,
$(a-b-c)(b-c-a) \leq 0$.
Аналогично получаем, что произведения $(b-c-a)(c-a-b)$ и $(c-a-b)(a-b-c)$ также неположительны.
Перемножая эти произведения находим, что
$(a-b-c)^2(b-c-a)^2(c-a-b)^2 \leq 0$.
Мы видим, что произведение неотрицательных чисел не превосходит 0, значит, одно из этих чисел равно 0, откуда следует требуемое утверждение.
