Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3221
2019-05-27 
В углу шахматной доски размером $n \times n$ полей стоит ладья. При каких $n$, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за $n^2$ ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода. За каждым горизонтальным ходом должен следовать вертикальный, а за каждым вертикальным - горизонтальный.)
Решение:
При четных $n$ - смотрите рис. Ладья сначала побывает во всех клетках первых двух горизонталей, потом - во всех клетках 3-й и 4-й горизонтали и т. д.
Покажем, что при нечетном $n$ такое невозможно. Действительно, рассмотрим любую горизонталь, отличную от первой. Когда ладья попадает на эту горизонталь, ей нужно следующим ходом перейти на другую клетку этой же горизонтали, а потом обязательно уйти на другую горизонталь (поскольку ладья должна сделать всего $n^2$ ходов, она может побывать на каждой клетке не более одного раза). Значит, клетки выбранной горизонтали делятся на пары. Поэтому в горизонтали должно быть четное число клеток.
Иными словами, после того как ладья побывает на горизонтали первый раз, она побывает в двух клетках этой горизонтали. После второго попадания в горизонталь-в четырех. Если в горизонтали нечетное число клеток, то в какой-то момент наступит ситуация, когда ладья, побывав во всех клетках горизонтали, кроме одной, уйдет в другую горизонталь. Ладье надо попасть в эту клетку, но после этого она не сможет сделать хода.
Ответ: При четных $n$.
В углу шахматной доски размером $n \times n$ полей стоит ладья. При каких $n$, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за $n^2$ ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода. За каждым горизонтальным ходом должен следовать вертикальный, а за каждым вертикальным - горизонтальный.)
Решение:
При четных $n$ - смотрите рис. Ладья сначала побывает во всех клетках первых двух горизонталей, потом - во всех клетках 3-й и 4-й горизонтали и т. д.
Покажем, что при нечетном $n$ такое невозможно. Действительно, рассмотрим любую горизонталь, отличную от первой. Когда ладья попадает на эту горизонталь, ей нужно следующим ходом перейти на другую клетку этой же горизонтали, а потом обязательно уйти на другую горизонталь (поскольку ладья должна сделать всего $n^2$ ходов, она может побывать на каждой клетке не более одного раза). Значит, клетки выбранной горизонтали делятся на пары. Поэтому в горизонтали должно быть четное число клеток.
Иными словами, после того как ладья побывает на горизонтали первый раз, она побывает в двух клетках этой горизонтали. После второго попадания в горизонталь-в четырех. Если в горизонтали нечетное число клеток, то в какой-то момент наступит ситуация, когда ладья, побывав во всех клетках горизонтали, кроме одной, уйдет в другую горизонталь. Ладье надо попасть в эту клетку, но после этого она не сможет сделать хода.
Ответ: При четных $n$.
