Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3220
2019-05-27 
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Сторона $BC$ разделена на три равные части точками $K$ и $L$, а точка $M$ делит сторону $AC$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $A$. Докажите, что сумма углов $AKM$ и $ALM$ равна $30^{ \circ}$.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что точка $K$ ближе к точке $B$, чем точка $L$ (рис.). Тогда треугольник $MKC$ равносторонний (так как $MC=KC, \angle MCK = 60^{ \circ}$). Поэтому $AB \parallel MK$ (так как $ \angle MKC = \angle ABC = 60^{ \circ}$). Значит, углы $AKM$ и $BAK$ равны как накрест лежащие.
Заметим, что углы $BAK$ и $CAL$ равны из симметрии (или же в силу того, что $\Delta BAK = \Delta CAL$ по первому признаку). Значит, $ \angle AKM = \angle CAL$. Поэтому
$ \angle AKM + \angle ALM = \angle CAL + \angle ALM = \angle LMC$.
Последнее равенство следует из того, что $ \angle LMC$, будучи внешним углом в треугольнике $AML$, равен сумме двух внутренних.
Итак, осталось доказать, что $ \angle LMC = 30^{ \circ}$. Но отрезок $ML$ - медиана равностороннего треугольника $MKC$, а значит $ML$ - биссектриса этого треугольника.
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Сторона $BC$ разделена на три равные части точками $K$ и $L$, а точка $M$ делит сторону $AC$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $A$. Докажите, что сумма углов $AKM$ и $ALM$ равна $30^{ \circ}$.
Решение:
Без ограничения общности можно считать, что точка $K$ ближе к точке $B$, чем точка $L$ (рис.). Тогда треугольник $MKC$ равносторонний (так как $MC=KC, \angle MCK = 60^{ \circ}$). Поэтому $AB \parallel MK$ (так как $ \angle MKC = \angle ABC = 60^{ \circ}$). Значит, углы $AKM$ и $BAK$ равны как накрест лежащие.
Заметим, что углы $BAK$ и $CAL$ равны из симметрии (или же в силу того, что $\Delta BAK = \Delta CAL$ по первому признаку). Значит, $ \angle AKM = \angle CAL$. Поэтому
$ \angle AKM + \angle ALM = \angle CAL + \angle ALM = \angle LMC$.
Последнее равенство следует из того, что $ \angle LMC$, будучи внешним углом в треугольнике $AML$, равен сумме двух внутренних.
Итак, осталось доказать, что $ \angle LMC = 30^{ \circ}$. Но отрезок $ML$ - медиана равностороннего треугольника $MKC$, а значит $ML$ - биссектриса этого треугольника.
