Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 322
2014-06-07 
Пространство разбито на 5 непересекающихся непустых множеств. Доказать, что некоторая плоскость имеет общие точки по крайней мере с 4 множествами.
Решение:
Допустим, что, вопреки утверждению задачи, любая плоскость пересекает не более 3 множеств. Выберем точки А, В, С, D, Е разных множеств. Тогда никакие 4 из них не лежат в одной плоскости, и, следовательно, никакие 3 не принадлежат одной прямой. Далее, через некоторые 3 из них проходит плоскость, относительно которой остальные 2 точки расположены в разных полупространствах (таким свойством обладает хотя бы одна из плоскостей ABC, ABD, ABE). Пусть эта плоскость проходит через точки А, В, С. Точка F пересечения с ней прямой DE принадлежит одному из множеств, содержащих точки А, В, С, например множеству, содержащему точку А. Следовательно, плоскость, проходящая через точки D, Е, F, В, пересекает не менее четырех множеств. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения задачи.
Пространство разбито на 5 непересекающихся непустых множеств. Доказать, что некоторая плоскость имеет общие точки по крайней мере с 4 множествами.
Решение:
Допустим, что, вопреки утверждению задачи, любая плоскость пересекает не более 3 множеств. Выберем точки А, В, С, D, Е разных множеств. Тогда никакие 4 из них не лежат в одной плоскости, и, следовательно, никакие 3 не принадлежат одной прямой. Далее, через некоторые 3 из них проходит плоскость, относительно которой остальные 2 точки расположены в разных полупространствах (таким свойством обладает хотя бы одна из плоскостей ABC, ABD, ABE). Пусть эта плоскость проходит через точки А, В, С. Точка F пересечения с ней прямой DE принадлежит одному из множеств, содержащих точки А, В, С, например множеству, содержащему точку А. Следовательно, плоскость, проходящая через точки D, Е, F, В, пересекает не менее четырех множеств. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения задачи.
