Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3219
2019-05-27 
В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.
Решение:
Рассмотрим клетку, в которой находится цветок. Разобьем ее на четыре маленькие клеточки. Примем длину стороны маленькой клеточки за единицу (соответственно сторона клетки равна двум). Пусть наш цветок оказался в левой верхней клеточке, как на рис. (остальные случаи аналогичны). Обозначим садовников, живущих в вершинах клетки, через $A, B, C$ и $D$.
Докажем следующее утверждение: за цветком будут ухаживать садовники $A, B$ и $C$.
Разобьем всех садовников на четыре заштрихованных на рис. сектора. Будем называть секторы по имени «углового» садовника-сектор $A, \cdots$, сектор $D$.
Заметим, что садовник $A$ ближе к цветку, чем садовник $B$. Действительно, расстояния по вертикали от цветка до этих садовников равны, а расстояние по горизонтали до садовника $A$ меньше, чем до садовника $B$ (потому что расстояние по горизонтали до садовника $A$ меньше единицы, а до садовника $B$ - больше). Значит, садовник $A$ - ближе (следует из теоремы Пифагора).
Аналогично, садовник $A$ ближе к цветку, чем садовник $C$, а садовники $B$ и $C$ ближе, чем садовник $D$. Поэтому садовник $D$ не ухаживает за цветком. Не ухаживают за цветком и остальные садовники из сектора $D$ - они еще дальше от цветка, чем садовник $D$ (рассмотрите расстояния по вертикали и горизонтали).
Рассмотрим сектор $B$. Ближайшие в этом секторе садовники - это $B_1$ и $B_2$. Покажем, что они не ухаживают за цветком. Рассмотрим, например, садовника $B_1$. Ясно, что он дальше, чем $B$. Расстояние от этого садовника до цветка по вертикали больше, чем 2, а по горизонтали - больше, чем 1. Так что он дальше от цветка, чем $C$. И уж тем более он дальше от цветка, чем $A$.
Наконец, рассмотрим сектор $A$. Покажем, что садовники $A_1$ и $A_2$ не ухаживают за цветком. Рассмотрим садовника $A_1$ (для $A_2$ доказательство аналогично). Ясно, что он дальше от цветка, чем $B$ (опять же, расстояние по горизонтали от него до цветка больше, чем от $B$ до цветка). Осталось доказать, что садовник $C$ ближе к цветку, чем садовник $A_1$.
Проведем серединный перпендикуляр к отрезку $A_1C$. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точек $A_1$ и $C$. Точки лежащие ниже перпендикуляра - ближе к $C$, чем к $A_1$. Ясно, что цветок находится ниже перпендикуляра, значит, он ближе к $C$.
Итак, за цветком ухаживают садовники $A, B$ и $C$.
Рассмотрим теперь садовника $X$. Из предыдущего ясно, что цветы, за которыми он ухаживает, могут находиться только в прилежащих к нему клетках. К тому же, достаточно нарисовать искомую область только для одной клетки и воспользоваться симметрией. Рассмотрим, например, клетку $XYZT$ (рис.). Разделим ее на 4 маленьких клеточки. По доказанному, для трех заштрихованных клеточек садовник $X$ будет одним из ухаживающих. За цветами, растущими в четвертой клеточке, будут ухаживать садовники $Y, Z$ и $T$. Значит, садовник ухаживает за цветами, растущими в этих трех клеточках, и еще в девяти клеточках, получающихся из них симметрией.
В узлах клетчатой бумаги живут садовники, а вокруг них повсюду растут цветы. За каждым цветком должны ухаживать 3 ближайших к нему садовника. Один из садовников хочет узнать, за каким участком он должен ухаживать. Нарисуйте этот участок.
Решение:
Рассмотрим клетку, в которой находится цветок. Разобьем ее на четыре маленькие клеточки. Примем длину стороны маленькой клеточки за единицу (соответственно сторона клетки равна двум). Пусть наш цветок оказался в левой верхней клеточке, как на рис. (остальные случаи аналогичны). Обозначим садовников, живущих в вершинах клетки, через $A, B, C$ и $D$.
Докажем следующее утверждение: за цветком будут ухаживать садовники $A, B$ и $C$.
Разобьем всех садовников на четыре заштрихованных на рис. сектора. Будем называть секторы по имени «углового» садовника-сектор $A, \cdots$, сектор $D$.
Заметим, что садовник $A$ ближе к цветку, чем садовник $B$. Действительно, расстояния по вертикали от цветка до этих садовников равны, а расстояние по горизонтали до садовника $A$ меньше, чем до садовника $B$ (потому что расстояние по горизонтали до садовника $A$ меньше единицы, а до садовника $B$ - больше). Значит, садовник $A$ - ближе (следует из теоремы Пифагора).
Аналогично, садовник $A$ ближе к цветку, чем садовник $C$, а садовники $B$ и $C$ ближе, чем садовник $D$. Поэтому садовник $D$ не ухаживает за цветком. Не ухаживают за цветком и остальные садовники из сектора $D$ - они еще дальше от цветка, чем садовник $D$ (рассмотрите расстояния по вертикали и горизонтали).
Рассмотрим сектор $B$. Ближайшие в этом секторе садовники - это $B_1$ и $B_2$. Покажем, что они не ухаживают за цветком. Рассмотрим, например, садовника $B_1$. Ясно, что он дальше, чем $B$. Расстояние от этого садовника до цветка по вертикали больше, чем 2, а по горизонтали - больше, чем 1. Так что он дальше от цветка, чем $C$. И уж тем более он дальше от цветка, чем $A$.
Наконец, рассмотрим сектор $A$. Покажем, что садовники $A_1$ и $A_2$ не ухаживают за цветком. Рассмотрим садовника $A_1$ (для $A_2$ доказательство аналогично). Ясно, что он дальше от цветка, чем $B$ (опять же, расстояние по горизонтали от него до цветка больше, чем от $B$ до цветка). Осталось доказать, что садовник $C$ ближе к цветку, чем садовник $A_1$.
Проведем серединный перпендикуляр к отрезку $A_1C$. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точек $A_1$ и $C$. Точки лежащие ниже перпендикуляра - ближе к $C$, чем к $A_1$. Ясно, что цветок находится ниже перпендикуляра, значит, он ближе к $C$.
Итак, за цветком ухаживают садовники $A, B$ и $C$.
Рассмотрим теперь садовника $X$. Из предыдущего ясно, что цветы, за которыми он ухаживает, могут находиться только в прилежащих к нему клетках. К тому же, достаточно нарисовать искомую область только для одной клетки и воспользоваться симметрией. Рассмотрим, например, клетку $XYZT$ (рис.). Разделим ее на 4 маленьких клеточки. По доказанному, для трех заштрихованных клеточек садовник $X$ будет одним из ухаживающих. За цветами, растущими в четвертой клеточке, будут ухаживать садовники $Y, Z$ и $T$. Значит, садовник ухаживает за цветами, растущими в этих трех клеточках, и еще в девяти клеточках, получающихся из них симметрией.
