Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3218
2019-05-27 
По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.
Решение:
Обозначим массы гирек через $m_i$, а массы шариков - через $x_i$. Имеем
$(m_1-m_2)+(m_2-m_3)+ \cdots +(m_9-m_{10})+(m_{10}-m_1)=0$.
Действительно, каждое $m_i$ входит в эту сумму два раза: один раз со знаком «+», а второй раз - со знаком «-». Поэтому все $m_i$ сократятся.
Заметим, что каждая из величин в скобках $(m_i-m_{i+1})$ по модулю равна массе $i$-го шарика. Значит, это равенство можно переписать так:
$ \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_9 \pm x_{10} = 0$,
где перед некоторыми $x_i$ стоит знак «+», а перед остальными - «-». Положим все шарики $x_i$, перед которыми стоят знаки «+» на левую чашу весов, а остальные-на правую. Ясно, что весы будут в равновесии.
По кругу расставлены 10 железных гирек. Между каждыми соседними гирьками находится бронзовый шарик. Масса каждого шарика равна разности масс соседних с ним гирек. Докажите, что шарики можно разложить на две чаши весов так, чтобы весы уравновесились.
Решение:
Обозначим массы гирек через $m_i$, а массы шариков - через $x_i$. Имеем
$(m_1-m_2)+(m_2-m_3)+ \cdots +(m_9-m_{10})+(m_{10}-m_1)=0$.
Действительно, каждое $m_i$ входит в эту сумму два раза: один раз со знаком «+», а второй раз - со знаком «-». Поэтому все $m_i$ сократятся.
Заметим, что каждая из величин в скобках $(m_i-m_{i+1})$ по модулю равна массе $i$-го шарика. Значит, это равенство можно переписать так:
$ \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_9 \pm x_{10} = 0$,
где перед некоторыми $x_i$ стоит знак «+», а перед остальными - «-». Положим все шарики $x_i$, перед которыми стоят знаки «+» на левую чашу весов, а остальные-на правую. Ясно, что весы будут в равновесии.
