Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3215
2019-05-27 
Доказать, что существует бесконечно много таких составных $n$, что $3^{n-1} - 2^{n-1}$ кратно $n$.
Решение:
Возьмем
$n=3^{2^t} - 2^{2^t}$
и докажем, что оно удовлетворяет условию задачи при любом натуральном $t$.
Достаточно доказать, что $n-1$ делится на $2^t$, т. е. что $3^{2^t}-1$ делится на $2^t$ (поскольку $2^{2^t}$ делится на $2^t$).
Докажем по индукции, что при всех натуральных $t$ число $3^{2^t}-1$ делится на $^{2t+2}$. При $t=1$ утверждение очевидно. Пусть оно верно при некотором $t$. Тогда для $t+1$ имеем:
$3^{2^{t+1}} - 1 = (3^{2^t} + 1)(3^{2^t} -1)$.
Первый множитель делится на 2, второй - на $2^{t+2}$. Значит, произведение делится на $2^{t+3}$, и утверждение доказано.
Доказать, что существует бесконечно много таких составных $n$, что $3^{n-1} - 2^{n-1}$ кратно $n$.
Решение:
Возьмем
$n=3^{2^t} - 2^{2^t}$
и докажем, что оно удовлетворяет условию задачи при любом натуральном $t$.
Достаточно доказать, что $n-1$ делится на $2^t$, т. е. что $3^{2^t}-1$ делится на $2^t$ (поскольку $2^{2^t}$ делится на $2^t$).
Докажем по индукции, что при всех натуральных $t$ число $3^{2^t}-1$ делится на $^{2t+2}$. При $t=1$ утверждение очевидно. Пусть оно верно при некотором $t$. Тогда для $t+1$ имеем:
$3^{2^{t+1}} - 1 = (3^{2^t} + 1)(3^{2^t} -1)$.
Первый множитель делится на 2, второй - на $2^{t+2}$. Значит, произведение делится на $2^{t+3}$, и утверждение доказано.
