Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3210
2019-05-27 
Докажите, что
$|x| + |y| + |z| \leq |x + y - z| + |x - y + z| + |-x + y + z|$,
где $x, y, z$ - действительные числа.
Решение:
Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей , имеем:
$|x+y-z|+|x-y+z| \geq |(x+y-z)+(x-y+z)| = 2|x|$.
Аналогично получаются неравенства
$|x-y+z|+|-x+y+z| \geq 2|z|$,
$|-x+y+z|+|x+y-z| \geq 2|y|$.
Сложив все три неравенства и разделив получившееся неравенство на 2, получим требуемое неравенство.
Докажите, что
$|x| + |y| + |z| \leq |x + y - z| + |x - y + z| + |-x + y + z|$,
где $x, y, z$ - действительные числа.
Решение:
Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей , имеем:
$|x+y-z|+|x-y+z| \geq |(x+y-z)+(x-y+z)| = 2|x|$.
Аналогично получаются неравенства
$|x-y+z|+|-x+y+z| \geq 2|z|$,
$|-x+y+z|+|x+y-z| \geq 2|y|$.
Сложив все три неравенства и разделив получившееся неравенство на 2, получим требуемое неравенство.
