Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 321
2014-06-07 
В пространстве расположены 5 точек так, что никакие 4 из них не лежат в одной плоскости. Доказать, что некоторая прямая, проходящая через 2 из них, пересекает плоскость, содержащую остальные 3точки, внутри треугольника с вершинами в этих 3 точках.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Рассмотрим тетраэдр с вершинами в данных точках $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$. Тогда пространство разбивается плоскостями его граней на 2 множества. Первое из них объединяет 4 однотипных области, каждая из которых составлена из трехгранного угла при какой-либо вершине тетраэдра и ему симметричного относительно этой вершины. Если точка $A_{5}$ лежит, например, в области, соответствующей вершине $A_{4}$, то прямая $A_{5}A_{4}$ пересекает треугольник $A_{1}A_{2}A_{3}$ (рис.1). Второе множество объединяет 6 однотипных областей, каждая из которых представляет собой пересечение двугранного угла при каком-либо ребре тетраэдра с углом, симметричным двугранному углу при противоположном ребре относительно этого ребра. Если точка $A_{5}$ лежит, например, в области, соответствующей ребру $A_{3}A_{4}$, то прямая $A_{1}A_{2}$ пересекает треугольник $A_{3}A_{4}A_{5}$ (рис.2).
В пространстве расположены 5 точек так, что никакие 4 из них не лежат в одной плоскости. Доказать, что некоторая прямая, проходящая через 2 из них, пересекает плоскость, содержащую остальные 3точки, внутри треугольника с вершинами в этих 3 точках.
Решение:
Рис.1
Рис.2
Рассмотрим тетраэдр с вершинами в данных точках $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$. Тогда пространство разбивается плоскостями его граней на 2 множества. Первое из них объединяет 4 однотипных области, каждая из которых составлена из трехгранного угла при какой-либо вершине тетраэдра и ему симметричного относительно этой вершины. Если точка $A_{5}$ лежит, например, в области, соответствующей вершине $A_{4}$, то прямая $A_{5}A_{4}$ пересекает треугольник $A_{1}A_{2}A_{3}$ (рис.1). Второе множество объединяет 6 однотипных областей, каждая из которых представляет собой пересечение двугранного угла при каком-либо ребре тетраэдра с углом, симметричным двугранному углу при противоположном ребре относительно этого ребра. Если точка $A_{5}$ лежит, например, в области, соответствующей ребру $A_{3}A_{4}$, то прямая $A_{1}A_{2}$ пересекает треугольник $A_{3}A_{4}A_{5}$ (рис.2).
