Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3205
2019-05-27 
Известно число $\sin \alpha$. Какое наибольшее число значений может принимать а) $\sin \frac { \alpha}{2}$, б) $\sin \frac{ \alpha}{3}$?
Решение:
а) Покажем сначала, что $\sin \frac{ \alpha}{2}$ не может принимать больше 4 значений. Действительно, если $ \sin{ \alpha} = \sin{ \beta}$, то $ \beta = \alpha + 2\pi k$ либо $ \beta = \pi - \alpha + 2 \pi k$ ($k$ - целое число). Соответственно $ \frac { \beta}{2} = \frac{ \alpha}{2} + \pi k$ либо $ \frac{ \beta}{2} = \frac{ \pi - \alpha}{2} + \pi k$. Этим значениям соответствуют точки на единичной окружности: $ \frac{ \alpha}{2}, \frac{ \alpha}{2} + \pi, \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}, \frac{3 \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$ и только они. Некоторые из этих точек могут совпадать, но в любом случае точек не более четырех.
Осталось привести пример, когда значения синуса в этих четырех точках попарно различны. Пусть, например, $\sin{ \alpha} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$, тогда точки на окружности, соответствующие углу $ \frac{\alpha}{2}$, - это $ \frac{\pi}{6},\frac{ \pi}{3}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}$. Синус принимает следующие значения в этих точках: $ \frac{1}{2}, \frac{ \sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}$ и $- \frac { \sqrt{3}}{2}$.
б) Если $\sin{ \alpha} = 0$, то $ \alpha = k \pi (k$ - целое). Значит, $\sin{ \frac{ \alpha}{3}}$ может равняться $\sin{0} = 0, \sin{ frac{\pi}{3}} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$ и $ \sin{ \frac{4 \pi}{3}} = - \frac{ \sqrt{3}}{2}$.
Покажем, что $\sin{ \frac{ \alpha}{3}}$ не может принимать больше трех значений. Можно рассуждать, как в пункте «а». Мы приведем другое доказательство. Пусть $ \sin{ \frac{ \alpha}{3}} = t$. Воспользуемся формулой синуса тройного угла:
$ \sin \alpha = \sin (3 \cdot \frac{ \alpha}{3}) = -4t^3 + 3t$.
Осталось заметить, что многочлен третьей степени имеет не более трех корней.
Ответ: а) 4 значения; б) 3 значения.
Известно число $\sin \alpha$. Какое наибольшее число значений может принимать а) $\sin \frac { \alpha}{2}$, б) $\sin \frac{ \alpha}{3}$?
Решение:
а) Покажем сначала, что $\sin \frac{ \alpha}{2}$ не может принимать больше 4 значений. Действительно, если $ \sin{ \alpha} = \sin{ \beta}$, то $ \beta = \alpha + 2\pi k$ либо $ \beta = \pi - \alpha + 2 \pi k$ ($k$ - целое число). Соответственно $ \frac { \beta}{2} = \frac{ \alpha}{2} + \pi k$ либо $ \frac{ \beta}{2} = \frac{ \pi - \alpha}{2} + \pi k$. Этим значениям соответствуют точки на единичной окружности: $ \frac{ \alpha}{2}, \frac{ \alpha}{2} + \pi, \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}, \frac{3 \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$ и только они. Некоторые из этих точек могут совпадать, но в любом случае точек не более четырех.
Осталось привести пример, когда значения синуса в этих четырех точках попарно различны. Пусть, например, $\sin{ \alpha} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$, тогда точки на окружности, соответствующие углу $ \frac{\alpha}{2}$, - это $ \frac{\pi}{6},\frac{ \pi}{3}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{4 \pi}{3}$. Синус принимает следующие значения в этих точках: $ \frac{1}{2}, \frac{ \sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}$ и $- \frac { \sqrt{3}}{2}$.
б) Если $\sin{ \alpha} = 0$, то $ \alpha = k \pi (k$ - целое). Значит, $\sin{ \frac{ \alpha}{3}}$ может равняться $\sin{0} = 0, \sin{ frac{\pi}{3}} = \frac{ \sqrt{3}}{2}$ и $ \sin{ \frac{4 \pi}{3}} = - \frac{ \sqrt{3}}{2}$.
Покажем, что $\sin{ \frac{ \alpha}{3}}$ не может принимать больше трех значений. Можно рассуждать, как в пункте «а». Мы приведем другое доказательство. Пусть $ \sin{ \frac{ \alpha}{3}} = t$. Воспользуемся формулой синуса тройного угла:
$ \sin \alpha = \sin (3 \cdot \frac{ \alpha}{3}) = -4t^3 + 3t$.
Осталось заметить, что многочлен третьей степени имеет не более трех корней.
Ответ: а) 4 значения; б) 3 значения.
