Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3203
2019-05-27 
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Решение:
Первый способ. Сначала изложим идею решения. Заметим, что порядок, в котором разрезали треугольники, не важен (в том смысле, что конечный результат от этого не зависит).
Поскольку первоначально имеется четыре одинаковых треугольника, три из них придется разрезать (рис.). Сделаем сначала эти три разреза. В результате образуются две тройки одинаковых треугольников. В каждой из этих троек придется разрезать по два треугольника. Сделаем эти разрезы. После этого у нас опять образуются четыре одинаковых треугольника!
Теперь изложим эту идею более строго. Предположим, что после некоторого числа разрезаний из четырех одинаковых треугольников получаются попарно различные, и пусть $n$ - наименьшее такое число. Поскольку порядок разрезаний не важен, сделаем сначала описанные выше 7 разрезаний. Получим снова 4 одинаковых треугольника, для разрезания которых потребуется $n-7$ разрезов. Но это противоречит предположению, что $n$ - минимальное число разрезов, необходимое для того, чтобы получить разные треугольники.
Второй способ (выходящий за рамки программы 9-го класса). Пусть гипотенузы исходных треугольников равны 1, а их катеты - $p$ и $q$. Тогда все получаемые разрезаниями треугольники подобны исходному с коэффициентом вида $p^mq^n (m$ и $n$ - целые неотрицательные числа). При разрезании такого треугольника получаются два - подобные исходному с коэффициентами $p^{m+1}q^n$ и $p^mq^{n+1}$. Теперь задачу можно переформулировать так: на координатной плоскости в вершине положительного квадранта стоят 4 фишки. Любую фишку можно заменять на две соседние (сверху и справа). Докажите, что нельзя добиться того, чтобы все фишки стояли в разных клетках.
Воспользуемся идеей инварианта. Запишем в клетку c координатами $(m, n)$ число $2^{-(m+n)}$ и назовем весом фишки то число, на котором она стоит. Нетрудно проверить, что в процессе деления фишек сумма весов не будет меняться.
В начальный момент сумма весов фишек равна 4. Сумма чисел, записанных во всех клетках, тоже равна 4. Действительно
$\sum^{\infty}_{n=0} \sum^{\infty}_{m=0}2^{-(n+m)} = \left ( \sum^{\infty}_{n=0} 2^{-n} \right ) \cdot \left ( \sum^{\infty}_{m=0}2^{-m} \right ) = 2 \cdot 2 = 4$.
Предпоследнее равенство следует из формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Поэтому если фишки стоят в разных клетках, то сумма их весов меньше 4. Следовательно, переход невозможен.
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Решение:
Первый способ. Сначала изложим идею решения. Заметим, что порядок, в котором разрезали треугольники, не важен (в том смысле, что конечный результат от этого не зависит).
Поскольку первоначально имеется четыре одинаковых треугольника, три из них придется разрезать (рис.). Сделаем сначала эти три разреза. В результате образуются две тройки одинаковых треугольников. В каждой из этих троек придется разрезать по два треугольника. Сделаем эти разрезы. После этого у нас опять образуются четыре одинаковых треугольника!
Теперь изложим эту идею более строго. Предположим, что после некоторого числа разрезаний из четырех одинаковых треугольников получаются попарно различные, и пусть $n$ - наименьшее такое число. Поскольку порядок разрезаний не важен, сделаем сначала описанные выше 7 разрезаний. Получим снова 4 одинаковых треугольника, для разрезания которых потребуется $n-7$ разрезов. Но это противоречит предположению, что $n$ - минимальное число разрезов, необходимое для того, чтобы получить разные треугольники.
Второй способ (выходящий за рамки программы 9-го класса). Пусть гипотенузы исходных треугольников равны 1, а их катеты - $p$ и $q$. Тогда все получаемые разрезаниями треугольники подобны исходному с коэффициентом вида $p^mq^n (m$ и $n$ - целые неотрицательные числа). При разрезании такого треугольника получаются два - подобные исходному с коэффициентами $p^{m+1}q^n$ и $p^mq^{n+1}$. Теперь задачу можно переформулировать так: на координатной плоскости в вершине положительного квадранта стоят 4 фишки. Любую фишку можно заменять на две соседние (сверху и справа). Докажите, что нельзя добиться того, чтобы все фишки стояли в разных клетках.
Воспользуемся идеей инварианта. Запишем в клетку c координатами $(m, n)$ число $2^{-(m+n)}$ и назовем весом фишки то число, на котором она стоит. Нетрудно проверить, что в процессе деления фишек сумма весов не будет меняться.
В начальный момент сумма весов фишек равна 4. Сумма чисел, записанных во всех клетках, тоже равна 4. Действительно
$\sum^{\infty}_{n=0} \sum^{\infty}_{m=0}2^{-(n+m)} = \left ( \sum^{\infty}_{n=0} 2^{-n} \right ) \cdot \left ( \sum^{\infty}_{m=0}2^{-m} \right ) = 2 \cdot 2 = 4$.
Предпоследнее равенство следует из формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Поэтому если фишки стоят в разных клетках, то сумма их весов меньше 4. Следовательно, переход невозможен.
