ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-27   
Натуральные числа $a, b, c, d$ таковы, что $ab = cd$. Может ли число $a+b+c+d$ быть простым?


Решение:


Первый способ. Из условия следует, что

$a+b+c+d=a+b+c + \frac{ab}{c} = \frac{(a+c)(b+c)}{c}$

- целое число. Значит, дробь сократима. Поскольку оба сомножителя в числителе больше знаменателя, то после сокращения от каждого из них останется число, большее единицы. Итак, число $a+b+c+d$ является произведением двух сомножителей, больших единицы, и значит, не является простым.

Второй способ. Докажем следующее утверждение: если $ab=cd$, то найдутся натуральные $u, v, w, z$ такие, что $a=uv, b=wz, c=uw, d=vz$. Действительно, разложим числа $a, b$ и $c$ на простые множители. Так как число $c$ является делителем произведения $ab$, все его простые множители присутствуют среди множителей $a$ и $b$ (причем, если простой множитель входит в $c$ несколько раз, то он входит в $a$ и $b$ в сумме по крайней мере столько же раз). Пусть $p_1, \cdots, p_n$ - все простые делители чисел $a$ и $b$. Тогда

$a=p^{k_1}_1 p^{k_2}_2 \cdots p^{k_n}_n$,
$b = p^{l_1}_1 p^{l_2}_2 \cdots p^{l_n}_n$,
$c = p^{m_1}_1 p^{m_2}_2 \cdots p^{m_n}_n$,

где некоторые из чисел $k_i, l_i, m_i$ могут быть равны нулю. Как объяснялось выше, $m_i \leq k_i + l_i$ при $i=1, \cdots, n$. Значит, можно представить $m_i$ в виде $t_i + s_i$, где $t_i \leq k_i, s_i \leq l_i$. Положим

$u = p^{t_1}_1 p^{t_2}_2 \cdots p^{t_n}_n$,
$w = p^{s_1}_1 p^{s_2}_2 \cdots p^{s_n}_n$.

Тогда $c=uw$. Кроме того, $u$ - делитель числа $a$, а $w$ - делитель числа $b$. Поэтому можно записать $a=uv, b=wz$ с целыми $v$ и $z$. Тогда

$d= \frac{ab}{c} = \frac{uvwz}{uw} = vz$.

Утверждение доказано. Итак,

$a+b+c+d=uv+wz+uw+vz=(u+z)(v+w)$.

Оба множителя больше единицы, значит, число $a+b+c+d$ - составное.
Ответ: Не может.