Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3201
2019-05-27 
Прямоугольник размером $1 \times k$ при всяком натуральном $k$ будем называть полоской. При каких натуральных $n$ прямоугольник размером $1995 \times n$ можно разрезать на попарно различные полоски?
Решение:
Идея решения: возьмем максимальную полоску (равную максимальной стороне прямоугольника). Остальные полоски будем объединять в пары, дающие в сумме максимальную полоску. Если мы заполнили прямоугольник, то задача решена; в противном случае рассуждение с площадями показывает, что прямоугольник нельзя разрезать на различные полоски.
Рассмотрим два случая: $n \leq 1995$ и $n>1995$.
Случай $n \leq 1995$. Если $n \leq 998$, то разрежем прямоугольник на $n$ полосок длиной 1995. Первую сохраним, вторую разрежем на две полоски длиной 1 и 1994, третью - на две полоски длиной 2 и 1993 и т. д. Последняя полоска $1 \times 1995$ будет разрезана на части $1 \times(n-1)$ и $1 \times(1996-n)$. У нас получились полоски с длинами:
$1, 2, \cdots, n-1, 1996-n, (1996-n)+1, \cdots, 1994, 1995$.
Ясно, что первые $n-1$ полосок различны, остальные полоски тоже различны. Однако, чтобы среди первых $n-1$ полосок не было полосок, равных одной из остальных полосок, необходимо (и достаточно), чтобы $n-1<1996-n$. Это неравенство выполняется, потому что $n \leq 998$. Такое разрезание для прямоугольника $5 \times 9$ изображено на рис.
Покажем, что при $998 < n \leq 1995$ разрезать прямоугольник требуемым образом не удастся. Действительно, самая длинная полоска, которая помещается в нашем прямоугольнике, - $1 \times 1995$. Значит, даже если мы используем все 1995 возможных полосок, их суммарная площадь будет
$1+2+3+ \cdots+1994 + 1995 = \frac{1995 \cdot 1996}{2}$
а площадь прямоугольника равна $1995n$. Значит, должно выполняться неравенство:
$1995n \leq \frac{1995 \cdot 1996}{2}$,
но это означает, что $n \leq 998$.
Случай $n>1995$ аналогичен. Разрежем прямоугольник на 1995 полосок длиной $n$. Первую сохраним, вторую разрежем на две полоски длиной 1 и $n-1$ и т. д. Получатся полоски с длинами
$1, 2, \cdots, 1994, n-1994, (n-1994)+1, \cdots, n$.
Они будут различными, если $1994
$1995n \leq \frac {n(n+1)}{2}$,
Отсюда $ \geq 2 \cdot 1995-1=3989$.
Ответ: При $n \leq998$ и при $n \geq3989$.
Прямоугольник размером $1 \times k$ при всяком натуральном $k$ будем называть полоской. При каких натуральных $n$ прямоугольник размером $1995 \times n$ можно разрезать на попарно различные полоски?
Решение:
Идея решения: возьмем максимальную полоску (равную максимальной стороне прямоугольника). Остальные полоски будем объединять в пары, дающие в сумме максимальную полоску. Если мы заполнили прямоугольник, то задача решена; в противном случае рассуждение с площадями показывает, что прямоугольник нельзя разрезать на различные полоски.
Рассмотрим два случая: $n \leq 1995$ и $n>1995$.
Случай $n \leq 1995$. Если $n \leq 998$, то разрежем прямоугольник на $n$ полосок длиной 1995. Первую сохраним, вторую разрежем на две полоски длиной 1 и 1994, третью - на две полоски длиной 2 и 1993 и т. д. Последняя полоска $1 \times 1995$ будет разрезана на части $1 \times(n-1)$ и $1 \times(1996-n)$. У нас получились полоски с длинами:
$1, 2, \cdots, n-1, 1996-n, (1996-n)+1, \cdots, 1994, 1995$.
Ясно, что первые $n-1$ полосок различны, остальные полоски тоже различны. Однако, чтобы среди первых $n-1$ полосок не было полосок, равных одной из остальных полосок, необходимо (и достаточно), чтобы $n-1<1996-n$. Это неравенство выполняется, потому что $n \leq 998$. Такое разрезание для прямоугольника $5 \times 9$ изображено на рис.
Покажем, что при $998 < n \leq 1995$ разрезать прямоугольник требуемым образом не удастся. Действительно, самая длинная полоска, которая помещается в нашем прямоугольнике, - $1 \times 1995$. Значит, даже если мы используем все 1995 возможных полосок, их суммарная площадь будет
$1+2+3+ \cdots+1994 + 1995 = \frac{1995 \cdot 1996}{2}$
а площадь прямоугольника равна $1995n$. Значит, должно выполняться неравенство:
$1995n \leq \frac{1995 \cdot 1996}{2}$,
но это означает, что $n \leq 998$.
Случай $n>1995$ аналогичен. Разрежем прямоугольник на 1995 полосок длиной $n$. Первую сохраним, вторую разрежем на две полоски длиной 1 и $n-1$ и т. д. Получатся полоски с длинами
$1, 2, \cdots, 1994, n-1994, (n-1994)+1, \cdots, n$.
Они будут различными, если $1994
$1995n \leq \frac {n(n+1)}{2}$,
Отсюда $ \geq 2 \cdot 1995-1=3989$.
Ответ: При $n \leq998$ и при $n \geq3989$.
