Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3200
2019-05-27 
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Для произвольной точки $P$ внутри треугольника рассмотрим точки $A^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ пересечения прямых $AP$ с $BC$ и $CP$ с $BA$ соответственно. Найдите геометрическое место точек $P$, для которых отрезки $AA^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ равны.
Решение:
Выберем произвольную точку $A^{ \prime}$ на $BC$ и проведем отрезок $AA^{ \prime}$ (рис. а). Докажем, что среди отрезков с началом в точке $C$ и концом на стороне $AB$ имеются только два, равных отрезку $AA^{ \prime}$ - это такие отрезки $CC_1$ и $CC_2$, что
$\angle C_1CA = \angle A^{ \prime}AC, \angle C_2CB = \angle A^{ \prime}AC$.
Действительно, если рассмотреть симметрию треугольника относительно высоты, выходящей из точки $B$, то видно, что $CC_1=AA^{ \prime}$. Симметрия относительно высоты, выходящей из точки $C$, показывает, что $CC_2 = CC_1$.
То, что нет других таких точек $C^{ \prime}$, что $CC^{ \prime} = AA^{ \prime}$, следует из того, что из точки на прямую можно провести не более двух наклонных данной длины.
Приведем более строгое доказательство. Пусть $CC^{ \prime} = AA^{ \prime}$. Проведем высоты $AH_A$ и $CH_C$ (рис. б). Прямоугольные треугольники $C^{ \prime}H_CC$ и $A^{ \prime}H_AA$ равны по катету и гипотенузе. Значит, $ \angle H_{C}CC^{ \prime} = \angle H_{A}AA^{ \prime}$. Возможны две ситуации: точка $C^{ \prime}$ лежит между точками $A$ и $H_C$, и точка $C$ лежит между $B$ и $H_C$. В первом случае углы $C^{ \prime}CA$ и $A^{ \prime}AC$ равны, во втором - углы $C^{ \prime}CB$ и $A^{ \prime}AC$ равны.
Итак, осталось рассмотреть точку пересечения $AA^{ \prime}$ и $CC_1$ и точку пересечения $AA^{ \prime}$ и $CC_2$.
Точка $P_1$, в которой пересекаются отрезки $AA^{ \prime}$ и $CC_1$, лежит на высоте треугольника $ABC$, выходящей из вершины $B$. Это (интуитивно очевидное) утверждение можно доказать так: треугольник $AP_{1}C$ равнобедренный, так как углы при основании равны. Значит, серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ является высотой этого треугольника, и, значит, он проходит через точку $P_1$. Но этот серединный перпендикуляр является и высотой треугольника $ABC$. Значит, точка $P_1$ лежит на высоте треугольника $ABC$. В силу симметрии все точки на этой высоте удовлетворяют условию задачи.
Пусть $P_2$ - точка пересечения $AA^{ \prime}$ и $CC_2$. Имеем:
$ \angle AP_{2}C = 180^{ \circ} - \angle A^{ \prime}AC - \angle C_{2}CA = 180^{ \circ} - \angle A^{ \prime}AC - (60^{ \circ} - \angle A^{ \prime}AC) = 120^{ \circ}$,
т. е. отрезок $AC$ виден из точки $P_2$ под углом $120^{ \circ}$. Геометрическое место точек внутри треугольника $ABC$, из которых отрезок $AC$ виден под углом $120^{ \circ}$, - это дуга окружности с концами в точках $A$ и $C$. Нетрудно видеть, что эта дуга проходит через центр треугольника $ABC$.
Проводя предыдущие рассуждения в обратном порядке, видим, что все точки этой дуги удовлетворяют условию (проверьте).
Ответ: Высота треугольника $ABC$, выходящая из вершины $B$, а также дуга окружности с концами $A$ и $C$ и величиной $120^{ \circ}$, лежащая внутри треугольника $ABC$ (рис.).
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Для произвольной точки $P$ внутри треугольника рассмотрим точки $A^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ пересечения прямых $AP$ с $BC$ и $CP$ с $BA$ соответственно. Найдите геометрическое место точек $P$, для которых отрезки $AA^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ равны.
Решение:
Выберем произвольную точку $A^{ \prime}$ на $BC$ и проведем отрезок $AA^{ \prime}$ (рис. а). Докажем, что среди отрезков с началом в точке $C$ и концом на стороне $AB$ имеются только два, равных отрезку $AA^{ \prime}$ - это такие отрезки $CC_1$ и $CC_2$, что
$\angle C_1CA = \angle A^{ \prime}AC, \angle C_2CB = \angle A^{ \prime}AC$.
Действительно, если рассмотреть симметрию треугольника относительно высоты, выходящей из точки $B$, то видно, что $CC_1=AA^{ \prime}$. Симметрия относительно высоты, выходящей из точки $C$, показывает, что $CC_2 = CC_1$.
То, что нет других таких точек $C^{ \prime}$, что $CC^{ \prime} = AA^{ \prime}$, следует из того, что из точки на прямую можно провести не более двух наклонных данной длины.
Приведем более строгое доказательство. Пусть $CC^{ \prime} = AA^{ \prime}$. Проведем высоты $AH_A$ и $CH_C$ (рис. б). Прямоугольные треугольники $C^{ \prime}H_CC$ и $A^{ \prime}H_AA$ равны по катету и гипотенузе. Значит, $ \angle H_{C}CC^{ \prime} = \angle H_{A}AA^{ \prime}$. Возможны две ситуации: точка $C^{ \prime}$ лежит между точками $A$ и $H_C$, и точка $C$ лежит между $B$ и $H_C$. В первом случае углы $C^{ \prime}CA$ и $A^{ \prime}AC$ равны, во втором - углы $C^{ \prime}CB$ и $A^{ \prime}AC$ равны.
Итак, осталось рассмотреть точку пересечения $AA^{ \prime}$ и $CC_1$ и точку пересечения $AA^{ \prime}$ и $CC_2$.
Точка $P_1$, в которой пересекаются отрезки $AA^{ \prime}$ и $CC_1$, лежит на высоте треугольника $ABC$, выходящей из вершины $B$. Это (интуитивно очевидное) утверждение можно доказать так: треугольник $AP_{1}C$ равнобедренный, так как углы при основании равны. Значит, серединный перпендикуляр к отрезку $AC$ является высотой этого треугольника, и, значит, он проходит через точку $P_1$. Но этот серединный перпендикуляр является и высотой треугольника $ABC$. Значит, точка $P_1$ лежит на высоте треугольника $ABC$. В силу симметрии все точки на этой высоте удовлетворяют условию задачи.
Пусть $P_2$ - точка пересечения $AA^{ \prime}$ и $CC_2$. Имеем:
$ \angle AP_{2}C = 180^{ \circ} - \angle A^{ \prime}AC - \angle C_{2}CA = 180^{ \circ} - \angle A^{ \prime}AC - (60^{ \circ} - \angle A^{ \prime}AC) = 120^{ \circ}$,
т. е. отрезок $AC$ виден из точки $P_2$ под углом $120^{ \circ}$. Геометрическое место точек внутри треугольника $ABC$, из которых отрезок $AC$ виден под углом $120^{ \circ}$, - это дуга окружности с концами в точках $A$ и $C$. Нетрудно видеть, что эта дуга проходит через центр треугольника $ABC$.
Проводя предыдущие рассуждения в обратном порядке, видим, что все точки этой дуги удовлетворяют условию (проверьте).
Ответ: Высота треугольника $ABC$, выходящая из вершины $B$, а также дуга окружности с концами $A$ и $C$ и величиной $120^{ \circ}$, лежащая внутри треугольника $ABC$ (рис.).
