Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 320
2014-06-07 
Доказать, что внутри куба с ребром а можно разместить два правильных тетраэдра с ребром а, не имеющих общих точек.
Решение:
Проведем через центр О данного куба $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}$ плоскость, перпендикулярную диагонали $A_{1}A_{3}^{\prime}$ (рис.). Эта плоскость проходит через середины $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ ребер $A_{1}^{\prime}A_{4}^{\prime}, A_{2}A_{2}^{\prime}, A_{3}A_{4}$ соответственно, ибо каждая из точек $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ удалена от вершин $A_{1}$ и $A_{3}^{\prime}$ на одинаковое расстояние $a \sqrt{5}/2$. Поскольку
$B_{1}O = B_{3}O = B_{3}O$
и
$B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = B_{3}B_{1} = a \sqrt{3/2} > a \sqrt{5}/2$,
то каждая из двух правильных пирамид
$A_{1}B_{1}B_{2}B_{3}$ и $A_{3}^{\prime}B_{1}B_{2}B_{3}$
(не имеющих общих внутренних точек) содержит правильный тетраэдр с высотой
$a \sqrt{3}/2= A_{1}O = A_{3}^{\prime}O$
и основанием $B_{1}^{\prime}B_{2}^{\prime}B_{3}^{\prime}$, гомотетичным треугольнику $B_{1}B_{2}B_{3}$ относительно центра О. Наконец, внутри этих тетраэдров
$A_{1}B_{1}^{\prime}B_{2}^{\prime}B_{3}^{\prime}$ и $A_{1}^{\prime}B_{1}^{\prime}B_{2}B_{3}^{\prime}$
лежат искомые правильные тетраэдры, гомотетичные им относительно их центров с коэффициентом 2 \sqrt{2} /3 < 1$ и имеющие высоту $a \sqrt{2/3}$, я значит, ребро $a$.
Доказать, что внутри куба с ребром а можно разместить два правильных тетраэдра с ребром а, не имеющих общих точек.
Решение:
Проведем через центр О данного куба $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}$ плоскость, перпендикулярную диагонали $A_{1}A_{3}^{\prime}$ (рис.). Эта плоскость проходит через середины $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ ребер $A_{1}^{\prime}A_{4}^{\prime}, A_{2}A_{2}^{\prime}, A_{3}A_{4}$ соответственно, ибо каждая из точек $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ удалена от вершин $A_{1}$ и $A_{3}^{\prime}$ на одинаковое расстояние $a \sqrt{5}/2$. Поскольку
$B_{1}O = B_{3}O = B_{3}O$
и
$B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3} = B_{3}B_{1} = a \sqrt{3/2} > a \sqrt{5}/2$,
то каждая из двух правильных пирамид
$A_{1}B_{1}B_{2}B_{3}$ и $A_{3}^{\prime}B_{1}B_{2}B_{3}$
(не имеющих общих внутренних точек) содержит правильный тетраэдр с высотой
$a \sqrt{3}/2= A_{1}O = A_{3}^{\prime}O$
и основанием $B_{1}^{\prime}B_{2}^{\prime}B_{3}^{\prime}$, гомотетичным треугольнику $B_{1}B_{2}B_{3}$ относительно центра О. Наконец, внутри этих тетраэдров
$A_{1}B_{1}^{\prime}B_{2}^{\prime}B_{3}^{\prime}$ и $A_{1}^{\prime}B_{1}^{\prime}B_{2}B_{3}^{\prime}$
лежат искомые правильные тетраэдры, гомотетичные им относительно их центров с коэффициентом 2 \sqrt{2} /3 < 1$ и имеющие высоту $a \sqrt{2/3}$, я значит, ребро $a$.
