Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3199
2019-05-27 
Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.
Решение:
Докажем утверждение по индукции.
База индукции: 12008 делится на 19, действительно, $12008 = 19 \cdot 632$.
Шаг индукции. Покажем, что если число указанного вида делится на 19, то и следующее за ним делится на 19. Для этого достаточно доказать, что разность двух соседних чисел делится на 19:
$120 \underbrace{3 \cdots 3}_{k \: троек}08 - 120 \underbrace{3 \cdots 3}_{k-1 \: тройка} = 1083 \cdot 10^k$.
Эта разность делится на 19, так как $1083 = 19 \cdot 57$. Наше утверждение доказано по индукции.
Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.
Решение:
Докажем утверждение по индукции.
База индукции: 12008 делится на 19, действительно, $12008 = 19 \cdot 632$.
Шаг индукции. Покажем, что если число указанного вида делится на 19, то и следующее за ним делится на 19. Для этого достаточно доказать, что разность двух соседних чисел делится на 19:
$120 \underbrace{3 \cdots 3}_{k \: троек}08 - 120 \underbrace{3 \cdots 3}_{k-1 \: тройка} = 1083 \cdot 10^k$.
Эта разность делится на 19, так как $1083 = 19 \cdot 57$. Наше утверждение доказано по индукции.
