Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3195
2019-05-27 
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ и точка $O$ внутри него. Известно, что $\angle AOB = \angle COD = 120^{\circ}$, $AO = OB$ и $CO = OD$. Пусть $K, L$ и $M$ - середины отрезков $AB, BC$ и $CD$ соответственно. Докажите, что а) $KL = LM$; б) треугольник $KLM$ - правильный.
Решение:
а) При повороте на $120^{ \circ}$ по часовой стрелке вокруг точки $O$ отрезок $AC$ переходит в $BD$, а значит, их длины равны (рис.). Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому он параллелен отрезку $AC$, а его длина равна половине длины отрезка $AC$.
Аналогично, отрезок $LM$ параллелен отрезку $BD$, а его длина равна половине длины этого отрезка. Поэтому
$KL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = LM$.
б) Так как отрезок $AC$ переходит в $BD$ при повороте на $120^{ \circ}$, угол между этими отрезками равен $60^{ \circ}$. Так как отрезки $KL$ и $LM$ параллельны отрезкам $AC$ и $BD$, угол между ними тоже равен $60^{ \circ}$. Используя утверждение пункта «а», видим, что треугольник $KLM$ правильный.
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ и точка $O$ внутри него. Известно, что $\angle AOB = \angle COD = 120^{\circ}$, $AO = OB$ и $CO = OD$. Пусть $K, L$ и $M$ - середины отрезков $AB, BC$ и $CD$ соответственно. Докажите, что а) $KL = LM$; б) треугольник $KLM$ - правильный.
Решение:
а) При повороте на $120^{ \circ}$ по часовой стрелке вокруг точки $O$ отрезок $AC$ переходит в $BD$, а значит, их длины равны (рис.). Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому он параллелен отрезку $AC$, а его длина равна половине длины отрезка $AC$.
Аналогично, отрезок $LM$ параллелен отрезку $BD$, а его длина равна половине длины этого отрезка. Поэтому
$KL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = LM$.
б) Так как отрезок $AC$ переходит в $BD$ при повороте на $120^{ \circ}$, угол между этими отрезками равен $60^{ \circ}$. Так как отрезки $KL$ и $LM$ параллельны отрезкам $AC$ и $BD$, угол между ними тоже равен $60^{ \circ}$. Используя утверждение пункта «а», видим, что треугольник $KLM$ правильный.
