Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3194
2019-05-27 
Докажите, что все числа $10017, 100117, 1001117, \cdots$ делятся на 53.
Решение:
Докажем утверждение по индукции.
База индукции: 10017 делится на 53. Действительно, $10017 = 53 \cdot 189$.
Шаг индукции. Покажем, что если число указанного вида делится на 53, то и следующее за ним делится на 53. Для этого вычислим разность двух соседних чисел:
$100 \underbrace{1 \cdots 1}_{k \: единиц}7 - 100 \underbrace{1 \cdots 1}_{k-1 \: единиц}7 = (1001 - 100) \cdot 10^k = 901 \cdot 10^k$
(последние $k$ цифр сокращаются). Эта разность всегда делится на 53, так как $901 = 53 \cdot 17$.
Если вычитаемое делится на 53 и разность делится на 53, то и уменьшаемое делится на 53. Наше утверждение доказано по индукции.
Докажите, что все числа $10017, 100117, 1001117, \cdots$ делятся на 53.
Решение:
Докажем утверждение по индукции.
База индукции: 10017 делится на 53. Действительно, $10017 = 53 \cdot 189$.
Шаг индукции. Покажем, что если число указанного вида делится на 53, то и следующее за ним делится на 53. Для этого вычислим разность двух соседних чисел:
$100 \underbrace{1 \cdots 1}_{k \: единиц}7 - 100 \underbrace{1 \cdots 1}_{k-1 \: единиц}7 = (1001 - 100) \cdot 10^k = 901 \cdot 10^k$
(последние $k$ цифр сокращаются). Эта разность всегда делится на 53, так как $901 = 53 \cdot 17$.
Если вычитаемое делится на 53 и разность делится на 53, то и уменьшаемое делится на 53. Наше утверждение доказано по индукции.
