Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3190
2019-05-27 
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых $A$, параллельными переносами, переводящими $A$ в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).
Решение:
Сделаем гомотетию исходного многогранника $M$ с центром в точке $A$ и коэффициентом 2. Объем растянутого многогранника $M^{ \prime}$ будет в 8 раз больше объема многогранника $M$. Докажем, что все 8 «перенесенных» многогранников содержатся в $M^{ \prime}$.
Пусть вершину $A$ перенесли в вершину $B, X$ - произвольная точка многогранника $M, Y$ - образ точки $X$ при соответствующем параллельном переносе (рис.). Докажем, что точка $Y$ принадлежит $M^{ \prime}$.
Отрезок $BX$ целиком содержится в многограннике $M$, так как многогранник - выпуклый. Значит, его середина $K$ принадлежит многограннику. Четырехугольник $ABYX$ - параллелограмм, поэтому $Y$ получается из $K$ гомотетией с центром в точке $A$ и коэффициентом 2, следовательно, точка $Y$ принадлежит $M^{ \prime}$.
Заметим, что точки вблизи вершины $A$ не принадлежат ни одному из «перенесенных» многогранников. Действительно, расположим многогранник так, чтобы вершина $A$ была выше всех остальных вершин, тогда существует плоскость, которая проходит ниже вершины $A$, но выше всех остальных вершин. Эта плоскость отрезает от многогранника $M$ маленький многогранник $N$, содержащий точку $A$. Ясно, что он не пересекается ни с одним из перенесенных многогранников.
Предположим теперь, что перенесенные многогранники не пересекаются по внутренним точкам, тогда объем многогранника $M^{ \prime}$ не меньше, чем сумма объема многогранника $N$ и объемов перенесенных многогранников. Но суммарный объем перенесенных многогранников в точности равен объему многогранника $M^{ \prime}$. Противоречие.
Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых $A$, параллельными переносами, переводящими $A$ в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).
Решение:
Сделаем гомотетию исходного многогранника $M$ с центром в точке $A$ и коэффициентом 2. Объем растянутого многогранника $M^{ \prime}$ будет в 8 раз больше объема многогранника $M$. Докажем, что все 8 «перенесенных» многогранников содержатся в $M^{ \prime}$.
Пусть вершину $A$ перенесли в вершину $B, X$ - произвольная точка многогранника $M, Y$ - образ точки $X$ при соответствующем параллельном переносе (рис.). Докажем, что точка $Y$ принадлежит $M^{ \prime}$.
Отрезок $BX$ целиком содержится в многограннике $M$, так как многогранник - выпуклый. Значит, его середина $K$ принадлежит многограннику. Четырехугольник $ABYX$ - параллелограмм, поэтому $Y$ получается из $K$ гомотетией с центром в точке $A$ и коэффициентом 2, следовательно, точка $Y$ принадлежит $M^{ \prime}$.
Заметим, что точки вблизи вершины $A$ не принадлежат ни одному из «перенесенных» многогранников. Действительно, расположим многогранник так, чтобы вершина $A$ была выше всех остальных вершин, тогда существует плоскость, которая проходит ниже вершины $A$, но выше всех остальных вершин. Эта плоскость отрезает от многогранника $M$ маленький многогранник $N$, содержащий точку $A$. Ясно, что он не пересекается ни с одним из перенесенных многогранников.
Предположим теперь, что перенесенные многогранники не пересекаются по внутренним точкам, тогда объем многогранника $M^{ \prime}$ не меньше, чем сумма объема многогранника $N$ и объемов перенесенных многогранников. Но суммарный объем перенесенных многогранников в точности равен объему многогранника $M^{ \prime}$. Противоречие.
