Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 319
2014-06-07 
Рассматриваются кубы, центры которых совпадают с центром симметрии заданного прямоугольного параллелепипеда с ребрами $a < b < c$, а грани параллельны граням последнего. Найти ребро куба, имеющего наименьшую разность между объемами объединения и пересечения с этим параллелепипедом.
Решение:
Если обозначить через х ребро куба, то указанная в задаче разность объемов равна
$
f(x) =\begin{cases}
abc – x^{3}&\text{при} \: 0 < x \leq a,\\
abc + (x - a)x^{2} – ax^{2}&\text{при} \: a < x \leq b,\\
x^{3} + ab(c - x) - abx&\text{при} \: b < x \leq c,\\
x^{3} - abc&\text{при c < x.}\\
\end{cases}
$
Заметим, что функция $f (x)$ непрерывна при $x > 0$, а ее производная равна
$
f^{\prime}(x) =\begin{cases}
– 3x^{2} &\text{при 0 < x < a,}\\
3x^{2} – 4ax &\text{при a < x < b,}\\
3x^{2} – 2ab&\text{при b < x < c,}\\
3x^{2} &\text{при c < x.}\\
\end{cases}
$
Следовательно, эта функция убывает при $0 < x < a$, возрастает при $b < x$ (ибо $3x^{2} – 2ab > 3b^{2} – 2ab > 0$), а на интервале $(a; b)$ она либо убывает, если $b \leq 4a/3$ (ибо $3x^{2} – 4ax < 3b^{2} – 4ab \leq 0$), либо имеет минимум в точке $x = 4a/3$, если $b > 4a/3$. Таким образом, наименьшее значение функция $f(x)$ принимает либо при $x = b$ (если $b \leq 4a/3$), либо при $x = 4a/3$ (если $b > 4a/3$), а искомое значение $x$ равно $min \{b; 4a/3\}$.
Рассматриваются кубы, центры которых совпадают с центром симметрии заданного прямоугольного параллелепипеда с ребрами $a < b < c$, а грани параллельны граням последнего. Найти ребро куба, имеющего наименьшую разность между объемами объединения и пересечения с этим параллелепипедом.
Решение:
Если обозначить через х ребро куба, то указанная в задаче разность объемов равна
$
f(x) =\begin{cases}
abc – x^{3}&\text{при} \: 0 < x \leq a,\\
abc + (x - a)x^{2} – ax^{2}&\text{при} \: a < x \leq b,\\
x^{3} + ab(c - x) - abx&\text{при} \: b < x \leq c,\\
x^{3} - abc&\text{при c < x.}\\
\end{cases}
$
Заметим, что функция $f (x)$ непрерывна при $x > 0$, а ее производная равна
$
f^{\prime}(x) =\begin{cases}
– 3x^{2} &\text{при 0 < x < a,}\\
3x^{2} – 4ax &\text{при a < x < b,}\\
3x^{2} – 2ab&\text{при b < x < c,}\\
3x^{2} &\text{при c < x.}\\
\end{cases}
$
Следовательно, эта функция убывает при $0 < x < a$, возрастает при $b < x$ (ибо $3x^{2} – 2ab > 3b^{2} – 2ab > 0$), а на интервале $(a; b)$ она либо убывает, если $b \leq 4a/3$ (ибо $3x^{2} – 4ax < 3b^{2} – 4ab \leq 0$), либо имеет минимум в точке $x = 4a/3$, если $b > 4a/3$. Таким образом, наименьшее значение функция $f(x)$ принимает либо при $x = b$ (если $b \leq 4a/3$), либо при $x = 4a/3$ (если $b > 4a/3$), а искомое значение $x$ равно $min \{b; 4a/3\}$.
