Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3189
2019-05-27 
В круглый бокал, осевое сечение которого - график функции $y = x^4$, опускают вишенку - шар радиуса $r$. При каком наибольшем $r$ шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус $r$ круга, лежащего в области $y \geq x^4$ и содержащего начало координат?)
Решение:
Решим сначала другую задачу: построим окружность с центром на оси $y$, которая касается оси $x$ и выясним, при каком наименьшем радиусе $r$ она имеет с кривой $y=x^4$ общую точку, отличную от начала координат (рис.). Иначе говоря, при каком наименьшем $r$ система уравнений
$y=x^4, x^2 +(y-r)^2 = r^2$
имеет ненулевое решение. Интуитивно ясно, что эти задачи эквивалентны, позже мы докажем это строго.
Подставим $y=x^4$ в уравнение окружности. Приведем подобные члены и сократим на $x^2 (x>0)$:
$x^6-2rx^2 + 1 = 0$.
Выразим $r$ через $x$:
$r(x)= \frac{1}{2} \left (x^4 + \frac{1}{x^2} \right )$.
Искомое число $r_0$ есть минимум этой функции. Производная функции равна
$r^{ \prime}(x) = 2x^3 - \frac{1}{x^3}$.
При $x>0$ эта производная ведет себя следующим образом: она отрицательна при $x < x_0 = \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$, равна нулю в точке $x_0$ и положительна при $x>x_0$. Значит, $r(x)$ убывает при $0 < x < x_0$, достигает минимума при $x=x_0$ и возрастает при $x > x_0$.
Итак, наименьшее $r$, при котором окружность имеет общую точку с кривой $y=x^4$, -
$r_0 = r(x_0) = \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$.
Осталось показать, что это $r_0$ дает ответ и в исходной задаче. Покажем, сначала, что соответствующая вишенка целиком содержится в бокале. Действительно, при любом $x \neq 0$ имеем $r \leq r(x)$. Подставляя в это неравенство выражение для $r(x)$, получаем, что при любом $x$
$x^6-2r_0x^2 + 1 \geq 0$.
Умножая обе части на $x^2$ и подставляя $y=x^4$, получим
$x^2 + (y-r_0)^2 \geq r^2_0$
при всех $x, y=x^4$. Но это и значит, что вишенка находится в бокале.
Осталось показать, что если $r>r_0$, то вишенка не коснется начала координат. Действительно, в этом случае
$x^6_0 - 2rx^2_0 + 1 < 0$,
поэтому при $y_0 = x^4_0$ имеем
$x^2_0 + (y_0-r)^2 < r^2$.
Это означает, что окружность радиуса $r$, касающаяся оси абсцисс в начале координат, пересекает график функции $y=x^4$. Поэтому вишенка не касается дна.
Ответ: $r = \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$.
В круглый бокал, осевое сечение которого - график функции $y = x^4$, опускают вишенку - шар радиуса $r$. При каком наибольшем $r$ шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус $r$ круга, лежащего в области $y \geq x^4$ и содержащего начало координат?)
Решение:
Решим сначала другую задачу: построим окружность с центром на оси $y$, которая касается оси $x$ и выясним, при каком наименьшем радиусе $r$ она имеет с кривой $y=x^4$ общую точку, отличную от начала координат (рис.). Иначе говоря, при каком наименьшем $r$ система уравнений
$y=x^4, x^2 +(y-r)^2 = r^2$
имеет ненулевое решение. Интуитивно ясно, что эти задачи эквивалентны, позже мы докажем это строго.
Подставим $y=x^4$ в уравнение окружности. Приведем подобные члены и сократим на $x^2 (x>0)$:
$x^6-2rx^2 + 1 = 0$.
Выразим $r$ через $x$:
$r(x)= \frac{1}{2} \left (x^4 + \frac{1}{x^2} \right )$.
Искомое число $r_0$ есть минимум этой функции. Производная функции равна
$r^{ \prime}(x) = 2x^3 - \frac{1}{x^3}$.
При $x>0$ эта производная ведет себя следующим образом: она отрицательна при $x < x_0 = \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$, равна нулю в точке $x_0$ и положительна при $x>x_0$. Значит, $r(x)$ убывает при $0 < x < x_0$, достигает минимума при $x=x_0$ и возрастает при $x > x_0$.
Итак, наименьшее $r$, при котором окружность имеет общую точку с кривой $y=x^4$, -
$r_0 = r(x_0) = \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$.
Осталось показать, что это $r_0$ дает ответ и в исходной задаче. Покажем, сначала, что соответствующая вишенка целиком содержится в бокале. Действительно, при любом $x \neq 0$ имеем $r \leq r(x)$. Подставляя в это неравенство выражение для $r(x)$, получаем, что при любом $x$
$x^6-2r_0x^2 + 1 \geq 0$.
Умножая обе части на $x^2$ и подставляя $y=x^4$, получим
$x^2 + (y-r_0)^2 \geq r^2_0$
при всех $x, y=x^4$. Но это и значит, что вишенка находится в бокале.
Осталось показать, что если $r>r_0$, то вишенка не коснется начала координат. Действительно, в этом случае
$x^6_0 - 2rx^2_0 + 1 < 0$,
поэтому при $y_0 = x^4_0$ имеем
$x^2_0 + (y_0-r)^2 < r^2$.
Это означает, что окружность радиуса $r$, касающаяся оси абсцисс в начале координат, пересекает график функции $y=x^4$. Поэтому вишенка не касается дна.
Ответ: $r = \frac{3 \sqrt[3]{2}}{4}$.
