Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3187
2019-05-27 
Существует ли такой многочлен $P(x)$, что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени $(P(x))^n, n > 1$, - положительные?
Решение:
Важное наблюдение состоит в том, что достаточно найти такой многочлен, что коэффициенты его квадрата и куба положительны. Любая другая степень представима в виде произведения квадратов и кубов.
Назовем многочлен
$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_0$
положительным, если все его коэффициенты положительны: $a_i > 0$ при $i=0, \cdots, n$.
Рассмотрим многочлен $f(x)=x^4 + x^3 + x + 1$. Нетрудно видеть, что $(f(x))^2$ и $(f(x))^3$ - положительные многочлены, но сам многочлен $f(x)$ не является положительным: коэффициент при $x^2$ равен нулю. Однако нам нужен многочлен с отрицательным коэффициентом. Идея состоит в том, чтобы немного «пошевелить» многочлен $f(x)$.
Рассмотрим многочлен $g(x)=f(x)- \epsilon x^2$ при достаточно малом $ \epsilon > 0$. Коэффициенты многочленов $(g(x))^2$ и $(g(x))^3$ близки к коэффициентам многочленов $(f(x))^2$ и $(f(x))^3$ и, значит, положительны. Последнее утверждение может показаться нестрогим человеку, не знакомому с математическим анализом. В этом случае предлагается взять, например, $ \epsilon = \frac{1}{125}$ и проверить «руками», что соответствующие многочлены положительны.
Итак, ответ дается многочленом
$g(x)=f(x)- \epsilon x^2 = x^4 + x^3 - \epsilon x^2 + x + 1$
при достаточно малом $ \epsilon > 0$.
Ответ: Существует.
Существует ли такой многочлен $P(x)$, что у него есть отрицательный коэффициент, а все коэффициенты любой его степени $(P(x))^n, n > 1$, - положительные?
Решение:
Важное наблюдение состоит в том, что достаточно найти такой многочлен, что коэффициенты его квадрата и куба положительны. Любая другая степень представима в виде произведения квадратов и кубов.
Назовем многочлен
$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_0$
положительным, если все его коэффициенты положительны: $a_i > 0$ при $i=0, \cdots, n$.
Рассмотрим многочлен $f(x)=x^4 + x^3 + x + 1$. Нетрудно видеть, что $(f(x))^2$ и $(f(x))^3$ - положительные многочлены, но сам многочлен $f(x)$ не является положительным: коэффициент при $x^2$ равен нулю. Однако нам нужен многочлен с отрицательным коэффициентом. Идея состоит в том, чтобы немного «пошевелить» многочлен $f(x)$.
Рассмотрим многочлен $g(x)=f(x)- \epsilon x^2$ при достаточно малом $ \epsilon > 0$. Коэффициенты многочленов $(g(x))^2$ и $(g(x))^3$ близки к коэффициентам многочленов $(f(x))^2$ и $(f(x))^3$ и, значит, положительны. Последнее утверждение может показаться нестрогим человеку, не знакомому с математическим анализом. В этом случае предлагается взять, например, $ \epsilon = \frac{1}{125}$ и проверить «руками», что соответствующие многочлены положительны.
Итак, ответ дается многочленом
$g(x)=f(x)- \epsilon x^2 = x^4 + x^3 - \epsilon x^2 + x + 1$
при достаточно малом $ \epsilon > 0$.
Ответ: Существует.
