Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3186
2019-05-27 
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдется хорда многоугольника, которая делит его на равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше, чем 1/3 площади многоугольника.
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
Комментарий. Заметим, что хорда, проходящая через вершины многоугольника, может разрезать его более, чем на две части. Тем не менее, в пункте «а» имеется в виду: можно ли разрезать многоугольник хордой на две равновеликие части, см. также комментарий к решению.
Решение:
Первый способ. а) Примером служит многоугольник, состоящий из трех одинаковых квадратов (залов), соединенных тонкими изогнутыми коридорами (рис.). Докажем, что такая конструкция дает решение, т. е. никакая хорда не делит многоугольник на две равновеликие части.
Пусть $S$ - площадь многоугольника, $0,3S$ - площадь одного зала ($0,1S$ - суммарная площадь всех коридоров). Если хорда пересекает только коридор, то по одну сторону от нее расположены два зала, и их площадь больше половины площади многоугольника. Если хорда пересекает один из залов, то она не пересекает «перекрестка» трех коридоров, а тогда опять в одной части расположены два зала.
б) Идея состоит в том, чтобы двигать хорду по контуру многоугольника в ту сторону, в которую площадь меньшей части увеличивается.
Выберем направление хорды, не параллельное сторонам и диагоналям многоугольника, и будем считать это направление вертикальным. Тогда хорда может проходить не более чем через одну вершину многоугольника. Если ни одна внутренняя точка хорды не является вершиной многоугольника, то хорда делит многоугольник ровно на 2 части, в противном случае - ровно на 3.
Если площадь меньшей части больше или равна $S/3$, то задача решена. В противном случае, будем двигать хорду перпендикулярно вертикали в ту сторону, в которую площадь меньшей части многоугольника растет. При движении хорда может «натолкнуться» на внутреннюю вершину (но не на 2 вершины сразу).
Если хорда не встречает препятствий на своем пути, площадь наименьшей части изменяется непрерывно. Если в какой-то момент она достигнет $S/3$, то задача решена. В противном случае, хорда натолкнется на внутреннюю вершину. В этом месте могут сходиться или расходиться два коридора (рис. а), тогда хорда, выходя из коридора, скачком увеличится или, входя в коридор, скачком уменьшится (или «перепрыгнет» в другую часть многоугольника, как на рис. б). Что произойдет с площадями?
Из трех образовавшихся частей многоугольника самая большая должна иметь площадь больше $S/3$. Направим вертикальную хорду в наибольшую часть, тогда две меньшие части объединятся. Если их площадь станет больше или равна $S/3$, то задача решена. В противном случае продолжаем двигать хорду, пока она не натолкнется на следующую вершину, и т. д.
Мы утверждаем, что этот процесс рано или поздно завершится, т. е. площадь меньшей части достигнет $S/3$. Действительно, площадь меньшей части все время растет, поэтому мы не можем пройти два раза через одну и ту же внутреннюю вершину. Но внутренних вершин-конечное число, значит, процесс завершится.
Второй способ (набросок). б) Любой многоугольник можно разбить на треугольники диагоналями, лежащими внутри него (триангулировать). Рассмотрим такую триангуляцию. Каждая из диагоналей триангуляции разбивает многоугольник на две части. Пусть $AB$ - та из диагоналей триангуляции, для которой площадь меньшей части максимальна. Пусть $ABC$ - треугольник триангуляции, примыкающий к $AB$ со стороны большей части.
Обозначим через $S_{AB}, S_{BC}$ и $S_{AC}$ площади частей, примыкающих к соответствующим сторонам треугольника $ABC$ и не содержащих этого треугольника. Тогда
$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{AC} + S_{ABC}$.
Можно считать, что $S_{BC} \geq S_{AC}$. Теперь из условия максимальности, наложенного на хорду, можно вывести, что
$S_{AB} \geq S_{BC} \geq S_{AC}$.
Из этих неравенств можно вывести, что $S_{AB} + S_{ABC} \geq S/3$. Если $S_{AB} \geq S/3$, то задача решена, в противном случае пусть $X$ - такая точка на стороне $AC$, что $S_{AB} + S_{ABX} = S/3$. Проверьте, что хорда, проходящая через $B$ и $X$, удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а) Такой хорды не может существовать.
Рассматривается произвольный многоугольник (не обязательно выпуклый).
а) Всегда ли найдется хорда многоугольника, которая делит его на равновеликие части?
б) Докажите, что любой многоугольник можно разделить некоторой хордой на части, площадь каждой из которых не меньше, чем 1/3 площади многоугольника.
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур.)
Комментарий. Заметим, что хорда, проходящая через вершины многоугольника, может разрезать его более, чем на две части. Тем не менее, в пункте «а» имеется в виду: можно ли разрезать многоугольник хордой на две равновеликие части, см. также комментарий к решению.
Решение:
Первый способ. а) Примером служит многоугольник, состоящий из трех одинаковых квадратов (залов), соединенных тонкими изогнутыми коридорами (рис.). Докажем, что такая конструкция дает решение, т. е. никакая хорда не делит многоугольник на две равновеликие части.
Пусть $S$ - площадь многоугольника, $0,3S$ - площадь одного зала ($0,1S$ - суммарная площадь всех коридоров). Если хорда пересекает только коридор, то по одну сторону от нее расположены два зала, и их площадь больше половины площади многоугольника. Если хорда пересекает один из залов, то она не пересекает «перекрестка» трех коридоров, а тогда опять в одной части расположены два зала.
б) Идея состоит в том, чтобы двигать хорду по контуру многоугольника в ту сторону, в которую площадь меньшей части увеличивается.
Выберем направление хорды, не параллельное сторонам и диагоналям многоугольника, и будем считать это направление вертикальным. Тогда хорда может проходить не более чем через одну вершину многоугольника. Если ни одна внутренняя точка хорды не является вершиной многоугольника, то хорда делит многоугольник ровно на 2 части, в противном случае - ровно на 3.
Если площадь меньшей части больше или равна $S/3$, то задача решена. В противном случае, будем двигать хорду перпендикулярно вертикали в ту сторону, в которую площадь меньшей части многоугольника растет. При движении хорда может «натолкнуться» на внутреннюю вершину (но не на 2 вершины сразу).
Если хорда не встречает препятствий на своем пути, площадь наименьшей части изменяется непрерывно. Если в какой-то момент она достигнет $S/3$, то задача решена. В противном случае, хорда натолкнется на внутреннюю вершину. В этом месте могут сходиться или расходиться два коридора (рис. а), тогда хорда, выходя из коридора, скачком увеличится или, входя в коридор, скачком уменьшится (или «перепрыгнет» в другую часть многоугольника, как на рис. б). Что произойдет с площадями?
Из трех образовавшихся частей многоугольника самая большая должна иметь площадь больше $S/3$. Направим вертикальную хорду в наибольшую часть, тогда две меньшие части объединятся. Если их площадь станет больше или равна $S/3$, то задача решена. В противном случае продолжаем двигать хорду, пока она не натолкнется на следующую вершину, и т. д.
Мы утверждаем, что этот процесс рано или поздно завершится, т. е. площадь меньшей части достигнет $S/3$. Действительно, площадь меньшей части все время растет, поэтому мы не можем пройти два раза через одну и ту же внутреннюю вершину. Но внутренних вершин-конечное число, значит, процесс завершится.
Второй способ (набросок). б) Любой многоугольник можно разбить на треугольники диагоналями, лежащими внутри него (триангулировать). Рассмотрим такую триангуляцию. Каждая из диагоналей триангуляции разбивает многоугольник на две части. Пусть $AB$ - та из диагоналей триангуляции, для которой площадь меньшей части максимальна. Пусть $ABC$ - треугольник триангуляции, примыкающий к $AB$ со стороны большей части.
Обозначим через $S_{AB}, S_{BC}$ и $S_{AC}$ площади частей, примыкающих к соответствующим сторонам треугольника $ABC$ и не содержащих этого треугольника. Тогда
$S = S_{AB} + S_{BC} + S_{AC} + S_{ABC}$.
Можно считать, что $S_{BC} \geq S_{AC}$. Теперь из условия максимальности, наложенного на хорду, можно вывести, что
$S_{AB} \geq S_{BC} \geq S_{AC}$.
Из этих неравенств можно вывести, что $S_{AB} + S_{ABC} \geq S/3$. Если $S_{AB} \geq S/3$, то задача решена, в противном случае пусть $X$ - такая точка на стороне $AC$, что $S_{AB} + S_{ABX} = S/3$. Проверьте, что хорда, проходящая через $B$ и $X$, удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а) Такой хорды не может существовать.
