Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3185
2019-05-27 
$D$ - точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$. B треугольники $ABD, ACD$ вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от $BC$), пересекающая $AD$ в точке $K$. Докажите, что длина отрезка $AK$ не зависит от положения точки $D$ на $BC$.
Решение:
Попробуем угадать, чему равна длина отрезка $AK$. Рассмотрим предельный случай, когда точка $D$ стремится к $C$, тогда вторая окружность сжимается в точку, а отрезок $AK$ превращается в отрезок касательной к первой окружности. Легко видеть, что в этом случае $AK = \frac{AB+AC-BC}{2}$. Докажем, что эта формула верна всегда (а не только в предельном случае).
Обозначим точки касания, как показано на рис.
Заметим, что $AB_1 = AP, AC_1 = AQ, KM = KP, KN = KQ$ (это отрезки касательных, проведенных из одной точки). Кроме того, $MN = EF$ - отрезки общих касательных к окружностям. Преобразуем наш гипотетический ответ (удвоенный), учитывая эти равенства:
$AB + AC - BC = AB_1 + AC_1 - EF = AB_1 + AC_1 - MN = AP + AQ - MN = AP + AQ -(MK + KN) = (AP - KP) + (AQ - KQ) = 2AK$.
Значит,
$AK = \frac{AB+AC-BC}{2}$.
Задача решена.
$D$ - точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$. B треугольники $ABD, ACD$ вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от $BC$), пересекающая $AD$ в точке $K$. Докажите, что длина отрезка $AK$ не зависит от положения точки $D$ на $BC$.
Решение:
Попробуем угадать, чему равна длина отрезка $AK$. Рассмотрим предельный случай, когда точка $D$ стремится к $C$, тогда вторая окружность сжимается в точку, а отрезок $AK$ превращается в отрезок касательной к первой окружности. Легко видеть, что в этом случае $AK = \frac{AB+AC-BC}{2}$. Докажем, что эта формула верна всегда (а не только в предельном случае).
Обозначим точки касания, как показано на рис.
Заметим, что $AB_1 = AP, AC_1 = AQ, KM = KP, KN = KQ$ (это отрезки касательных, проведенных из одной точки). Кроме того, $MN = EF$ - отрезки общих касательных к окружностям. Преобразуем наш гипотетический ответ (удвоенный), учитывая эти равенства:
$AB + AC - BC = AB_1 + AC_1 - EF = AB_1 + AC_1 - MN = AP + AQ - MN = AP + AQ -(MK + KN) = (AP - KP) + (AQ - KQ) = 2AK$.
Значит,
$AK = \frac{AB+AC-BC}{2}$.
Задача решена.
