Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3182
2019-05-27 
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Решение:
Похожая задача была задача 3171. Там приведены более подробные решения.
Первый способ. Пусть $x$ и $y$ - искомые числа, тогда можно составить уравнение: $3 \cdot x \cdot y = 10^7x + y$, $3y = 10^7 + \frac{y}{x}$. Поскольку $ \frac{y}{x}$ - число в пределах от 0 до 10, имеем $ 10^7 < 3y < 10^7 + 10$, следовательно $3333333 \frac{1}{3} < y < 3333336 \frac{2}{3}$. Теперь можно либо рассмотреть три варианта: $y=3333334, y=3333335$ и $y=3333336$, либо заметить, что
$\frac{y}{x} \leq \frac{3333336}{1000000} < 4$,
значит, $10^7 + 1 \leq 3y < 10^7 + 4$. Лишь одно число в этом интервале делится на 3 - это $10^7 + 2$. Тогда $3y = 10^7 +2, y=3333334, x=1666667$.
Второй способ. $10^7x=(3x-1)y$. Поскольку $x$ и $(3x-1)$ не имеют общих делителей, то $3x-1$ - делитель $10^7$. Но $3x-1 \geq 3 \cdot 10^6 - 1$, поэтому либо $3x - 1 = 5 \cdot 10^6$, либо $3x-1=10^7$. Подходит только $3x-1=5 \cdot 10^6$, откуда $x=1666667$. Из первого уравнения получаем: $y=3333334$.
Ответ: 3333334 и 1666667.
Ученик не заметил знака умножения между двумя семизначными числами и написал одно четырнадцатизначное число, которое оказалось в три раза больше их произведения. Найдите эти числа.
Решение:
Похожая задача была задача 3171. Там приведены более подробные решения.
Первый способ. Пусть $x$ и $y$ - искомые числа, тогда можно составить уравнение: $3 \cdot x \cdot y = 10^7x + y$, $3y = 10^7 + \frac{y}{x}$. Поскольку $ \frac{y}{x}$ - число в пределах от 0 до 10, имеем $ 10^7 < 3y < 10^7 + 10$, следовательно $3333333 \frac{1}{3} < y < 3333336 \frac{2}{3}$. Теперь можно либо рассмотреть три варианта: $y=3333334, y=3333335$ и $y=3333336$, либо заметить, что
$\frac{y}{x} \leq \frac{3333336}{1000000} < 4$,
значит, $10^7 + 1 \leq 3y < 10^7 + 4$. Лишь одно число в этом интервале делится на 3 - это $10^7 + 2$. Тогда $3y = 10^7 +2, y=3333334, x=1666667$.
Второй способ. $10^7x=(3x-1)y$. Поскольку $x$ и $(3x-1)$ не имеют общих делителей, то $3x-1$ - делитель $10^7$. Но $3x-1 \geq 3 \cdot 10^6 - 1$, поэтому либо $3x - 1 = 5 \cdot 10^6$, либо $3x-1=10^7$. Подходит только $3x-1=5 \cdot 10^6$, откуда $x=1666667$. Из первого уравнения получаем: $y=3333334$.
Ответ: 3333334 и 1666667.
