Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3180
2019-05-27 
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
Решение:
Пусть $x$ - вычеркнутая цифра, $a$ - часть числа слева от $x, c$ - часть числа справа от $x$, тогда число имеет вид $ \overline{axc}$. Пусть цифра $x$ стоит на $(n+1)$-м месте (считая справа). Тогда
$ \overline{axc} = a \cdot 10^{n+1} + x \cdot 10^n + c$.
После вычеркивания цифры $x$ получится число $ \overline{ac} = a \cdot 10^n + c$. Рассмотрим отношение исходного числа к полученному
$r = \frac{a \cdot 10^{n+1} + x \cdot 10^n +c}{a \cdot 10^n +c}$, где $c < 10^n$. (2)
Вычитая 10 из обеих частей равенства (2), и производя несложные преобразования, получим
$ r-10 = \frac{x \cdot 10^n - 9c}{a \cdot 10^n +c} \leq \frac{x}{a} \leq \frac{9}{a} \leq 9$.
Обозначим $l = r - 10$. Умножая последнее равенство на знаменатель и приводя подобные члены, получим:
$(x-la)·10^n = (l+9)c$. (3)
Если $l \leq 0$, то левая часть последнего равенства положительна, значит, $l+9>0$. Итак,
$-8 \leq l \leq 9$.
Ясно также, что $l \neq 0$ (иначе десятичная запись числа c оканчивается нулем).
Лемма. $a$ - цифра (иными словами, $a<10$).
Доказательство. Рассмотрим два случая: $l>0$ и $l<0$.
Пусть $l>0$. Из равенства (3) следует, что $x-la>0$, значит,
$a < \frac{x}{l} \leq \frac{9}{1} \leq 9$.
Пусть $l<0$, тогда
$x-la = \frac{(l+9)c}{10^n} < \frac{9 \cdot 10^n}{10^n} = 9$,
откуда $-la<9$, так что $a<9$. Лемма доказана.
Из леммы следует, что десятичная запись числа $\overline{axc}$ состоит из $n+2$ цифр. Поэтому, чтобы найти максимальное исходное число, нужно найти максимальное $n$.
Число $c$ по условию не оканчивается нулем, поэтому разложение $c$ на простые множители либо не содержит двоек, либо не содержит пятерок.
1. Пусть разложение числа $c$ не содержит двоек. Рассмотрим правую часть равенства (3). Так как $1 \leq l + 9 \leq 18$, число $l+9$ может делиться на 4-ю степень двойки $(l+9=16)$, но не может делиться на 5-ю $(2^5 = 32 > 18)$. Поэтому $n \leq 4$. Пусть $n=4$, тогда $l+9=16$, и равенство (3) перепишется в виде
$(x-7a) \cdot 5^4 = c$.
Поскольку $x$ - это цифра, то $a=1, x=8$ или $x=9$. При $x=9$ число c оканчивается нулем, и потому не подходит. При $x=8$ получаем $c=625$ и ответ
$ \overline{axc} = 180625$.
2. Пусть число $c$ не содержит пятерок. Число $l+9$ делится на степень пятерки не выше первой, поэтому $n \leq 1$, и число заведомо не будет максимальным.
Ответ: Число 180625, которое после вычеркивания цифры 8 уменьшается в 17 раз.
Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.
Решение:
Пусть $x$ - вычеркнутая цифра, $a$ - часть числа слева от $x, c$ - часть числа справа от $x$, тогда число имеет вид $ \overline{axc}$. Пусть цифра $x$ стоит на $(n+1)$-м месте (считая справа). Тогда
$ \overline{axc} = a \cdot 10^{n+1} + x \cdot 10^n + c$.
После вычеркивания цифры $x$ получится число $ \overline{ac} = a \cdot 10^n + c$. Рассмотрим отношение исходного числа к полученному
$r = \frac{a \cdot 10^{n+1} + x \cdot 10^n +c}{a \cdot 10^n +c}$, где $c < 10^n$. (2)
Вычитая 10 из обеих частей равенства (2), и производя несложные преобразования, получим
$ r-10 = \frac{x \cdot 10^n - 9c}{a \cdot 10^n +c} \leq \frac{x}{a} \leq \frac{9}{a} \leq 9$.
Обозначим $l = r - 10$. Умножая последнее равенство на знаменатель и приводя подобные члены, получим:
$(x-la)·10^n = (l+9)c$. (3)
Если $l \leq 0$, то левая часть последнего равенства положительна, значит, $l+9>0$. Итак,
$-8 \leq l \leq 9$.
Ясно также, что $l \neq 0$ (иначе десятичная запись числа c оканчивается нулем).
Лемма. $a$ - цифра (иными словами, $a<10$).
Доказательство. Рассмотрим два случая: $l>0$ и $l<0$.
Пусть $l>0$. Из равенства (3) следует, что $x-la>0$, значит,
$a < \frac{x}{l} \leq \frac{9}{1} \leq 9$.
Пусть $l<0$, тогда
$x-la = \frac{(l+9)c}{10^n} < \frac{9 \cdot 10^n}{10^n} = 9$,
откуда $-la<9$, так что $a<9$. Лемма доказана.
Из леммы следует, что десятичная запись числа $\overline{axc}$ состоит из $n+2$ цифр. Поэтому, чтобы найти максимальное исходное число, нужно найти максимальное $n$.
Число $c$ по условию не оканчивается нулем, поэтому разложение $c$ на простые множители либо не содержит двоек, либо не содержит пятерок.
1. Пусть разложение числа $c$ не содержит двоек. Рассмотрим правую часть равенства (3). Так как $1 \leq l + 9 \leq 18$, число $l+9$ может делиться на 4-ю степень двойки $(l+9=16)$, но не может делиться на 5-ю $(2^5 = 32 > 18)$. Поэтому $n \leq 4$. Пусть $n=4$, тогда $l+9=16$, и равенство (3) перепишется в виде
$(x-7a) \cdot 5^4 = c$.
Поскольку $x$ - это цифра, то $a=1, x=8$ или $x=9$. При $x=9$ число c оканчивается нулем, и потому не подходит. При $x=8$ получаем $c=625$ и ответ
$ \overline{axc} = 180625$.
2. Пусть число $c$ не содержит пятерок. Число $l+9$ делится на степень пятерки не выше первой, поэтому $n \leq 1$, и число заведомо не будет максимальным.
Ответ: Число 180625, которое после вычеркивания цифры 8 уменьшается в 17 раз.
