Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 318
2014-06-07 
Плоскости $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ касаются описанной около тетраэдра ABCD сферы в точках А, В. С, D соответственно. Доказать, что если линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ лежит в одной плоскости с прямой CD, то линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\delta$ лежит в одной плоскости с прямой АВ.
Решение:
Пусть около тетраэдра ABCD описана сфера с центром О и радиусом R. Обозначим
$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{b} = \overrightarrow{OB}, \mathbf{c} = \overrightarrow{OC}, \mathbf{d} = \overrightarrow{OD}$
и, вообще, $\mathbf{x} = \overrightarrow{OX}$ для любой точки X пространства. Тогда
$\mathbf{a}^{2} = \mathbf{b}^{2} = \mathbf{c}^{2} = \mathbf{d}^{2} = R^{2}$.
Так как $\alpha \perp OA$, то точки X, принадлежащие плоскости $\alpha$, задаются уравнением
$\mathbf{a}(\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$, или $\mathbf{a} \mathbf{x}= R^{2}$.
Аналогично, точки X, принадлежащие плоскостям $\beta, \gamma, \delta$, задаются уравнениями
$\mathbf{b}\mathbf{x} = R^{2}, \mathbf{c}\mathbf{x} = R^{2}, \mathbf{d}\mathbf{x} = R^{2}$
соответственно. Заметим, что уравнение
$(\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \mathbf{x} = (\lambda + \mu)R^{2}$.
для любых значений $\lambda$ и $\mu$, не равных нулю одновременно, задает плоскость, проходящую через прямую l пересечении плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (ибо $\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} \neq 0$ и для любой точки $X \in l$ имеем $\mathbf{a} \mathbf{x} = \mathbf{b} \mathbf{x} = R^{2}$). Кроме того, для любой точки X пространства найдутся такие числа $\lambda$ и $\mu$, не равные нулю одновременно, что
$\lambda (\mathbf{a} \mathbf{x} - R^{2}) + \mu(\mathbf{b} \mathbf{x} – R^{2}) = 0$,
т. е. через любую точку X проходит плоскость, задаваемая некоторыми значениями $\lambda$ и $\mu$. Поэтому прямая CD лежит в одной плоскости с прямой l тогда и только тогда, когда система
$\left\{\begin{matrix} \lambda(\mathbf{a} \mathbf{c} – R^{2}) + \mu(\mathbf{b} \mathbf{c} – R^{2}) = 0& \\ \lambda(\mathbf{a} \mathbf{d} – R^{2}) + \mu(\mathbf{b} \mathbf{d} – R^{2}) =0& \end{matrix}\right.$
имеет ненулевое решение (относительно пары неизвестных $\lambda, \mu$), т. е. когда
$(\mathbf{a} \mathbf{c} – R^{2}) (\mathbf{b} \mathbf{d} – R^{2}) = (\mathbf{a} \mathbf{d} – R^{2}) (\mathbf{b} \mathbf{c} – R^{2})$.
Аналогично доказывается, что линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\delta$ лежит в одной плоскости с прямой АВ тогда и только тогда, когда
$(\mathbf{c} \mathbf{a} – R^{2}) (\mathbf{d} \mathbf{b} – R^{2}) = (\mathbf{c} \mathbf{b} – R^{2}) (\mathbf{d} \mathbf{a} – R^{2})$.
Так как два полученных условия равносильны, то утверждение задачи доказано.
Плоскости $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ касаются описанной около тетраэдра ABCD сферы в точках А, В. С, D соответственно. Доказать, что если линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ лежит в одной плоскости с прямой CD, то линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\delta$ лежит в одной плоскости с прямой АВ.
Решение:
Пусть около тетраэдра ABCD описана сфера с центром О и радиусом R. Обозначим
$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA}, \mathbf{b} = \overrightarrow{OB}, \mathbf{c} = \overrightarrow{OC}, \mathbf{d} = \overrightarrow{OD}$
и, вообще, $\mathbf{x} = \overrightarrow{OX}$ для любой точки X пространства. Тогда
$\mathbf{a}^{2} = \mathbf{b}^{2} = \mathbf{c}^{2} = \mathbf{d}^{2} = R^{2}$.
Так как $\alpha \perp OA$, то точки X, принадлежащие плоскости $\alpha$, задаются уравнением
$\mathbf{a}(\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$, или $\mathbf{a} \mathbf{x}= R^{2}$.
Аналогично, точки X, принадлежащие плоскостям $\beta, \gamma, \delta$, задаются уравнениями
$\mathbf{b}\mathbf{x} = R^{2}, \mathbf{c}\mathbf{x} = R^{2}, \mathbf{d}\mathbf{x} = R^{2}$
соответственно. Заметим, что уравнение
$(\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b}) \mathbf{x} = (\lambda + \mu)R^{2}$.
для любых значений $\lambda$ и $\mu$, не равных нулю одновременно, задает плоскость, проходящую через прямую l пересечении плоскостей $\alpha$ и $\beta$ (ибо $\lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} \neq 0$ и для любой точки $X \in l$ имеем $\mathbf{a} \mathbf{x} = \mathbf{b} \mathbf{x} = R^{2}$). Кроме того, для любой точки X пространства найдутся такие числа $\lambda$ и $\mu$, не равные нулю одновременно, что
$\lambda (\mathbf{a} \mathbf{x} - R^{2}) + \mu(\mathbf{b} \mathbf{x} – R^{2}) = 0$,
т. е. через любую точку X проходит плоскость, задаваемая некоторыми значениями $\lambda$ и $\mu$. Поэтому прямая CD лежит в одной плоскости с прямой l тогда и только тогда, когда система
$\left\{\begin{matrix} \lambda(\mathbf{a} \mathbf{c} – R^{2}) + \mu(\mathbf{b} \mathbf{c} – R^{2}) = 0& \\ \lambda(\mathbf{a} \mathbf{d} – R^{2}) + \mu(\mathbf{b} \mathbf{d} – R^{2}) =0& \end{matrix}\right.$
имеет ненулевое решение (относительно пары неизвестных $\lambda, \mu$), т. е. когда
$(\mathbf{a} \mathbf{c} – R^{2}) (\mathbf{b} \mathbf{d} – R^{2}) = (\mathbf{a} \mathbf{d} – R^{2}) (\mathbf{b} \mathbf{c} – R^{2})$.
Аналогично доказывается, что линия пересечения плоскостей $\gamma$ и $\delta$ лежит в одной плоскости с прямой АВ тогда и только тогда, когда
$(\mathbf{c} \mathbf{a} – R^{2}) (\mathbf{d} \mathbf{b} – R^{2}) = (\mathbf{c} \mathbf{b} – R^{2}) (\mathbf{d} \mathbf{a} – R^{2})$.
Так как два полученных условия равносильны, то утверждение задачи доказано.
