Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3179
2019-05-27 
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. В точке $A$ к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках $M$ и $N$. Прямые $BM$ и $BN$ пересекают окружности еще раз в точках $P$ и $Q$ ($P$ - на прямой $BM$, $Q$ - на прямой $BN$). Докажите, что отрезки $MP$ и $NQ$ равны.
Решение:
Первый способ. Пусть окружности расположены как на рис. Случай другого расположения окружностей разбирается аналогично (см. комментарий).
Достаточно доказать, что равны треугольники $AQN$ и $AMP$. Для этого докажем, что они подобны, и что у них равны соответственные стороны $AQ$ и $AM$.
По теореме о вписанных углах $ \angle P = \angle N$ и $ \angle Q = \angle M$, следовательно, треугольники $AQN$ и $AMP$ подобны.
Чтобы доказать равенство отрезков $AQ$ и $AM$, докажем равенство дуг $AQ$ и $MA$ (дуги измеряются против часовой стрелки). Заметим, что угол $ABQ$ равен половине дуги $AQ$, а угол $MAN$ равен половине дуги $AM$. Итак, достаточно доказать равенство углов $ABQ$ и $MAN$.
Угол $ABQ$ - внешний угол треугольника $ABN$, поэтому $ \angle ABQ = \angle ANB + \angle BAN$. Угол $MAN$ состоит из двух углов $BAM$ и $BAN$, но $ \angle ANB = \angle BAM$ (каждый из них равен половине дуги $AB$ окружности, проходящей через точки $A, B$ и $N$), поэтому $
\angle MAN = \angle ANB + \angle BAN = \angle ABQ$.
Задача решена.
Второй способ. По теореме о секущей и касательной, проведенных из одной точки, получаем:
$MP = \frac{AM^2}{MB}, NQ = \frac{AN^2}{NB}$.
То есть достаточно доказать, что
$ \frac{AM^2}{AN^2} = \frac{MB}{NB}$. (1)
Применяя теорему об угле между касательной и хордой, видим, что треугольники $AMB$ и $NAB$ подобны (рис.). Значит,
$ \frac{AM}{AN} = \frac{AB}{NB}$, и $ \frac{AM}{AN} = \frac{MB}{AB}$.
Перемножая эти равенства, получаем равенство (1).
Две окружности пересекаются в точках $A$ и $B$. В точке $A$ к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках $M$ и $N$. Прямые $BM$ и $BN$ пересекают окружности еще раз в точках $P$ и $Q$ ($P$ - на прямой $BM$, $Q$ - на прямой $BN$). Докажите, что отрезки $MP$ и $NQ$ равны.
Решение:
Первый способ. Пусть окружности расположены как на рис. Случай другого расположения окружностей разбирается аналогично (см. комментарий).
Достаточно доказать, что равны треугольники $AQN$ и $AMP$. Для этого докажем, что они подобны, и что у них равны соответственные стороны $AQ$ и $AM$.
По теореме о вписанных углах $ \angle P = \angle N$ и $ \angle Q = \angle M$, следовательно, треугольники $AQN$ и $AMP$ подобны.
Чтобы доказать равенство отрезков $AQ$ и $AM$, докажем равенство дуг $AQ$ и $MA$ (дуги измеряются против часовой стрелки). Заметим, что угол $ABQ$ равен половине дуги $AQ$, а угол $MAN$ равен половине дуги $AM$. Итак, достаточно доказать равенство углов $ABQ$ и $MAN$.
Угол $ABQ$ - внешний угол треугольника $ABN$, поэтому $ \angle ABQ = \angle ANB + \angle BAN$. Угол $MAN$ состоит из двух углов $BAM$ и $BAN$, но $ \angle ANB = \angle BAM$ (каждый из них равен половине дуги $AB$ окружности, проходящей через точки $A, B$ и $N$), поэтому $
\angle MAN = \angle ANB + \angle BAN = \angle ABQ$.
Задача решена.
Второй способ. По теореме о секущей и касательной, проведенных из одной точки, получаем:
$MP = \frac{AM^2}{MB}, NQ = \frac{AN^2}{NB}$.
То есть достаточно доказать, что
$ \frac{AM^2}{AN^2} = \frac{MB}{NB}$. (1)
Применяя теорему об угле между касательной и хордой, видим, что треугольники $AMB$ и $NAB$ подобны (рис.). Значит,
$ \frac{AM}{AN} = \frac{AB}{NB}$, и $ \frac{AM}{AN} = \frac{MB}{AB}$.
Перемножая эти равенства, получаем равенство (1).
