Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3178
2019-05-26 
Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3$ имеет бесконечное число решений в целых числах $x, y, z$.
Решение:
Например: $x = k(2k^2 + 1), y = 2k^2 + 1, z=-k(2k^2 + 1)$.
Как додуматься до этих формул? Избавимся от двух кубов с помощью подстановки $z=-x$. Получим уравнение $2x^2 + y^2 = y^3, 2x^2 = (y-1)y^2$. Если $ \frac{y-1}{2} = k^2$ - точный квадрат, то решение найдется:
$y = 2k^2 + 1, x = k(2k^2 + 1)$.
Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3$ имеет бесконечное число решений в целых числах $x, y, z$.
Решение:
Например: $x = k(2k^2 + 1), y = 2k^2 + 1, z=-k(2k^2 + 1)$.
Как додуматься до этих формул? Избавимся от двух кубов с помощью подстановки $z=-x$. Получим уравнение $2x^2 + y^2 = y^3, 2x^2 = (y-1)y^2$. Если $ \frac{y-1}{2} = k^2$ - точный квадрат, то решение найдется:
$y = 2k^2 + 1, x = k(2k^2 + 1)$.
