ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-26   
У Коли есть отрезок длины $k$, а у Лёвы - отрезок длины $l$. Сначала Коля делит свой отрезок на три части, а потом Лёва делит на три части свой отрезок. Если из получившихся шести отрезков можно сложить два треугольника, то выигрывает Лёва, а если нет - Коля. Кто из играющих, в зависимости от отношения $k/l$, может обеспечить себе победу, и как ему следует играть?


Решение:



Первый случай. Если $k>l$, то выигрывает Коля: ему достаточно отрезать от $k$ часть, которая будет больше суммы всех остальных.

Например, можно разрезать $k$ на части (рис.)

$l+ \frac{2}{3}(k-l), \frac{1}{6}(k-l), \frac{1}{6}(k-l)$.

Тогда самая большая часть $l+ \frac{2}{3}(k-l)$ не может быть стороной никакого треугольника: по неравенству треугольника сумма длин двух остальных сторон должна быть больше, но сумма длин всех остальных отрезков (равная $l+ \frac{1}{3}(k-l)$) меньше длины этой части.


Второй случай. Если $k \leq l$, то выигрывает Лёва. Пусть Коля разрезал $k$ на части $k_1 \geq k_2 \geq k_3$. Тогда Лёва разрежет $l$ так, чтобы его большая часть равнялась большей части отрезка Коли, а две другие были равными между собой (рис.):

$l=k_1 + \frac{l-k_1}{2} + \frac{l-k_1}{2}$.

Тогда получатся два равнобедренных треугольника:

$(k_1, k_1, k_2), \left ( \frac{l-k_1}{2}, \frac{l-k_1}{2}, k_3 \right )$

Действительно, из отрезков $a, a, b$ можно сложить равнобедренный треугольник тогда и только тогда, когда $b<2a$. Очевидно, что $k_2 < 2k_1$. С другой стороны,

$2 \cdot \frac{l-k_1}{2} = l-k_1 > k_3$,

так как $k_1 + k_3 < k \leq l$.
Ответ: Если $k>l$, то выигрывает Коля, если $k \leq l$, то выигрывает Лёва.