Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3172
2019-05-26 
В треугольнике $ABC$ провели биссектрисы углов $A$ и $C$. Точки $P$ и $Q$ - основания перпендикуляров, опущенных из вершины $B$ на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок $PQ$ параллелен стороне $AC$.
Решение:
Продолжим отрезки $BQ$ и $BP$ до пересечения с прямой $AC$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. В треугольнике $ABC_1$ отрезок $AP$ является биссектрисой и высотой (рис.). Значит, этот треугольник равнобедренный ($AB=AC_1$). Тогда отрезок $AP$ является, также, и медианой: $BP=C_1P$. Аналогично, отрезок $CQ$ является медианой треугольника $CBA_1$, т. е. $BQ=QA_1$. Следовательно, $PQ$ - средняя линия треугольника $A_1BC_1$, значит, отрезок $PQ$ параллелен $A_1C_1$, но тогда он параллелен и $AC$.
В треугольнике $ABC$ провели биссектрисы углов $A$ и $C$. Точки $P$ и $Q$ - основания перпендикуляров, опущенных из вершины $B$ на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок $PQ$ параллелен стороне $AC$.
Решение:
Продолжим отрезки $BQ$ и $BP$ до пересечения с прямой $AC$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно. В треугольнике $ABC_1$ отрезок $AP$ является биссектрисой и высотой (рис.). Значит, этот треугольник равнобедренный ($AB=AC_1$). Тогда отрезок $AP$ является, также, и медианой: $BP=C_1P$. Аналогично, отрезок $CQ$ является медианой треугольника $CBA_1$, т. е. $BQ=QA_1$. Следовательно, $PQ$ - средняя линия треугольника $A_1BC_1$, значит, отрезок $PQ$ параллелен $A_1C_1$, но тогда он параллелен и $AC$.
