Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3171
2019-05-26 
Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
Решение:
Первый способ. Пусть $x, y$ - искомые трехзначные числа. Если к числу $x$ приписать три нуля, то получится число $1000x$, если приписать $y$, то получится $1000x+y$.
Итак, ученик написал число $1000x+y$. По условию это число в семь раз больше, чем $x \cdot y$. Получается равенство
$7x \cdot y = 1000x+y$. (1)
Разделим обе части равенства (1) на $x:
7y = 1000+ \frac{y}{x}$.
Число $\frac{y}{x}$ положительно и меньше 10, так как $y \leq 999, x \geq 100$. Поэтому
$1000 < 7y < 1010$.
Деля это неравенство на 7, получаем
$142 \frac{6}{7} < y < 144 \frac{2}{7}$.
Так как $y$ - целое число, $y$ - либо 143, либо 144. Пусть $y = 143$. Подставляя это значение $y$ в равенство (1), получаем:
$7x \cdot 143 = 1000x + 143$.
Решая это уравнение, находим $x = 143$. Если $y = 144$, то аналогичное уравнение дает $x = 18$, что не годится, потому что $x$ - число из трех цифр.
Второй способ. Перепишем равенство (1) в виде $1000x=(7x-1)y$. Нетрудно видеть, что $x$ и $7x-1$ не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если $d$ - общий делитель чисел $x$ и $7x-1$, то $d$ является делителем числа $7x$, а значит, и делителем числа $1=7x-(7x-1)$. Но 1 делится только на 1 и -1.
Итак, число $7x-1$ - делитель произведения $1000 \cdot x$ и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число $7x-1$ - делитель числа 1000. Но
$7x-1 \geq 7 \cdot 100 - 1 = 699$,
поэтому $7x-1=1000$ (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 - это само число 1000), откуда $x=143$. Подставляя $x=143$ в исходное уравнение, находим $y=143$.
Ответ: 143 и 143.
Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
Решение:
Первый способ. Пусть $x, y$ - искомые трехзначные числа. Если к числу $x$ приписать три нуля, то получится число $1000x$, если приписать $y$, то получится $1000x+y$.
Итак, ученик написал число $1000x+y$. По условию это число в семь раз больше, чем $x \cdot y$. Получается равенство
$7x \cdot y = 1000x+y$. (1)
Разделим обе части равенства (1) на $x:
7y = 1000+ \frac{y}{x}$.
Число $\frac{y}{x}$ положительно и меньше 10, так как $y \leq 999, x \geq 100$. Поэтому
$1000 < 7y < 1010$.
Деля это неравенство на 7, получаем
$142 \frac{6}{7} < y < 144 \frac{2}{7}$.
Так как $y$ - целое число, $y$ - либо 143, либо 144. Пусть $y = 143$. Подставляя это значение $y$ в равенство (1), получаем:
$7x \cdot 143 = 1000x + 143$.
Решая это уравнение, находим $x = 143$. Если $y = 144$, то аналогичное уравнение дает $x = 18$, что не годится, потому что $x$ - число из трех цифр.
Второй способ. Перепишем равенство (1) в виде $1000x=(7x-1)y$. Нетрудно видеть, что $x$ и $7x-1$ не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Действительно, если $d$ - общий делитель чисел $x$ и $7x-1$, то $d$ является делителем числа $7x$, а значит, и делителем числа $1=7x-(7x-1)$. Но 1 делится только на 1 и -1.
Итак, число $7x-1$ - делитель произведения $1000 \cdot x$ и взаимно просто со вторым множителем. Тогда, по известной теореме, число $7x-1$ - делитель числа 1000. Но
$7x-1 \geq 7 \cdot 100 - 1 = 699$,
поэтому $7x-1=1000$ (единственный делитель числа 1000, больше либо равный 699 - это само число 1000), откуда $x=143$. Подставляя $x=143$ в исходное уравнение, находим $y=143$.
Ответ: 143 и 143.
