2014-06-07
Сфера касается ребер АВ, ВС, CD, DA тетраэдра ABCD в четырех точках, являющихся вершинами квадрата. Доказать, что если эта сфера, кроме того, касается ребра АС, то она касается и ребра BD.
Решение:
Обозначим через К, L, М, N точки касании ребер АВ, ВС, CD, DA соответственно со сферой (рис.). Через центр О сферы проведем прямую l перпендикулярно плоскости квадрата KLMN. Четыре плоскости, касающиеся сферы в точках К, L, М, N. Образуют равные двугранные утлы с плоскостью квадрата, а значит, либо параллельны прямой l, либо пересекаются в некоторой точке S на прямой l. В последнем случае они образуют правильную четырехугольную пирамиду с вершиной S, основанием, содержащим квадрат KLMN, и апофемами SK, SL, SM, SN. Так как ребра АВ, ВС, CD, DA лежат в соответствующих гранях этой пирамиды, то точки A, В, С, D лежат на ее ребрах. Из равенства биссектрис SK, SL, SM, SN равных углов ASB, BSC, CSD, DSA вытекает равенство треугольников ASB, BSC, CSD, DSA, откуда получаем
SA = SC, SB = SD, AK = CL = CM = AN,
а если ребро AC также касается сферы, то
AC = AK + CL = 2AK.
Из подобия равнобедренных треугольников ASC, BSD по свойству биссектрисы треугольника имеем
BD/AC = SB/SA = КВ/АК,
откуда
$BD = \frac{AC}{AK} \cdot KB = 2KB$.
Поэтому для середины Р ребра BD, лежащей на прямой справедливо равенство ОР = ОК (ибо прямоугольные треугольники ВОК и ВОР с общей гипотенузой ВО имеют равные катеты ВК и BP), т. е. ребро ВО касается сферы в точке Р. Наконец, в случае, если четыре упомянутые касательные плоскости параллельны прямой l, то и тогда они пересекают плоскость квадрата KLMN по сторонам некоего квадрата, причем серединами его сторон также служат точки К, L, М, N. В этом случае
АК = КВ = BL = LC = СМ = MD = DN = AN
и центр О, совпадающий с центром квадрата KLMN, равноудален от ребер АС и BD, а значит, сфера может касаться этих ребер только одновременно. Утверждение доказано.