Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3169
2019-05-26 
а) Известно, что область определения функции $f(x)$ - отрезок $[-1; 1]$, и $f(f(x))= - x$ при всех $x$, а ее график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график функции $f(x)$.
б) Можно ли это сделать, если область определения функции - интервал $(-1; 1)$? Вся числовая ось?
Комментарии. 1. В пункте «а» достаточно нарисовать график какой-нибудь такой функции.
2. Напомним, что интервал не содержит своих концов. Впрочем, это не существенно, так как отрезок есть объединение интервала и двух точек.
Решение:
a) Можно взять, например:
$f(x) = \begin{cases} - \frac{1}{2} - x & при \: x \in [ -1; - 0,5 ); \\ x - \frac{1}{2} & при \: x \in [ - 0,5; - 0 ); \\ 0 & при \: x = 0; \\
x + \frac{1}{2} & при \: x \in (0; 0,5]; \\ \frac{1}{2} - x & при \: x \in (0,5; 1] \end{cases}$
График этой функции изображен на рис.
б) Допустим, что существует такая функция $f$, определенная на интервале (-1; 1) (случай функции, определенной на всей числовой оси, аналогичен).
1. График функции $f(x)$ переходит в себя при поворотах на $90^{ \circ}, 180^{ \circ}$ и $270^{ \circ}$. Действительно, пусть $(x; y)$ - точка на графике. Тогда $y=f(x)$, значит, $f(y)=-x$. Поэтому точка $(y; -x)$ тоже лежит на графике. Но эта точка как раз получается из точки $(x; y)$ поворотом на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке. Значит, график переходит в себя при таком повороте. Но тогда он переходит в себя и при поворотах на $180^{ \circ}$ и $270^{\ circ}$.
2. $f(0)=0$ и $f(x) \neq 0$, если $x \neq 0$. Действительно, если $f(0) = y \neq 0$, то точка $(0; y)$ лежит на графике. Тогда по доказанному и точка $(0; -y)$, которая получается из нее поворотом на $180^{ \circ}$, лежит на графике, что противоречит определению функции.
Если же $f(x)=0$, где $x \neq 0$, то точка $(x; 0)$ лежит на графике. Поворачивая эту точку на $90^{ \circ}$ и $270^{ \circ}$, приходим к противоречию.
3. По условию, график есть объединение конечного числа точек и интервалов, значит, часть графика, расположенную в положительном квадранте ${x>0, y>0}$, можно представить в виде:
$I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_n \cup P_1 \cup P_2 \cup \cdots \cup P_m$.
При этом можно считать, что разные интервалы $I_k$ не пересекаются, а точки $P_l$ различны и не принадлежат интервалам $I_k$. Заметим также, что в силу 2 ни один из интервалов, составляющих график функции, не пересекает осей координат.
Пусть $J_k$ - интервал, который получается из $I_k$ поворотом на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке. По доказанному все эти интервалы лежат на графике; все они лежат в четвертом квадранте. Далее, пусть $Q_l$ - точка, получающаяся из $P_l$ поворотом на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке.
Нетрудно видеть, что интервалы $J_k$ и точки $Q_l$ составляют пересечение графика с четвертым квадрантом.
Итак, часть графика, расположенная в правой полуплоскости, представляет собой объединение интервалов $I_k, J_k$ и точек $P_l, Q_l (k=1, \cdots, n, l=1, \cdots, m)$. Значит, проекции этих интервалов и точек на ось абсцисс разбивают интервал (0; 1) на $2n$ интервалов и $2m$ точек. Но интервал нельзя разбить на четное число интервалов четным числом точек! Противоречие.
Ответ: б) Нет, нельзя.
а) Известно, что область определения функции $f(x)$ - отрезок $[-1; 1]$, и $f(f(x))= - x$ при всех $x$, а ее график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график функции $f(x)$.
б) Можно ли это сделать, если область определения функции - интервал $(-1; 1)$? Вся числовая ось?
Комментарии. 1. В пункте «а» достаточно нарисовать график какой-нибудь такой функции.
2. Напомним, что интервал не содержит своих концов. Впрочем, это не существенно, так как отрезок есть объединение интервала и двух точек.
Решение:
a) Можно взять, например:
$f(x) = \begin{cases} - \frac{1}{2} - x & при \: x \in [ -1; - 0,5 ); \\ x - \frac{1}{2} & при \: x \in [ - 0,5; - 0 ); \\ 0 & при \: x = 0; \\
x + \frac{1}{2} & при \: x \in (0; 0,5]; \\ \frac{1}{2} - x & при \: x \in (0,5; 1] \end{cases}$
График этой функции изображен на рис.
б) Допустим, что существует такая функция $f$, определенная на интервале (-1; 1) (случай функции, определенной на всей числовой оси, аналогичен).
1. График функции $f(x)$ переходит в себя при поворотах на $90^{ \circ}, 180^{ \circ}$ и $270^{ \circ}$. Действительно, пусть $(x; y)$ - точка на графике. Тогда $y=f(x)$, значит, $f(y)=-x$. Поэтому точка $(y; -x)$ тоже лежит на графике. Но эта точка как раз получается из точки $(x; y)$ поворотом на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке. Значит, график переходит в себя при таком повороте. Но тогда он переходит в себя и при поворотах на $180^{ \circ}$ и $270^{\ circ}$.
2. $f(0)=0$ и $f(x) \neq 0$, если $x \neq 0$. Действительно, если $f(0) = y \neq 0$, то точка $(0; y)$ лежит на графике. Тогда по доказанному и точка $(0; -y)$, которая получается из нее поворотом на $180^{ \circ}$, лежит на графике, что противоречит определению функции.
Если же $f(x)=0$, где $x \neq 0$, то точка $(x; 0)$ лежит на графике. Поворачивая эту точку на $90^{ \circ}$ и $270^{ \circ}$, приходим к противоречию.
3. По условию, график есть объединение конечного числа точек и интервалов, значит, часть графика, расположенную в положительном квадранте ${x>0, y>0}$, можно представить в виде:
$I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_n \cup P_1 \cup P_2 \cup \cdots \cup P_m$.
При этом можно считать, что разные интервалы $I_k$ не пересекаются, а точки $P_l$ различны и не принадлежат интервалам $I_k$. Заметим также, что в силу 2 ни один из интервалов, составляющих график функции, не пересекает осей координат.
Пусть $J_k$ - интервал, который получается из $I_k$ поворотом на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке. По доказанному все эти интервалы лежат на графике; все они лежат в четвертом квадранте. Далее, пусть $Q_l$ - точка, получающаяся из $P_l$ поворотом на $90^{ \circ}$ по часовой стрелке.
Нетрудно видеть, что интервалы $J_k$ и точки $Q_l$ составляют пересечение графика с четвертым квадрантом.
Итак, часть графика, расположенная в правой полуплоскости, представляет собой объединение интервалов $I_k, J_k$ и точек $P_l, Q_l (k=1, \cdots, n, l=1, \cdots, m)$. Значит, проекции этих интервалов и точек на ось абсцисс разбивают интервал (0; 1) на $2n$ интервалов и $2m$ точек. Но интервал нельзя разбить на четное число интервалов четным числом точек! Противоречие.
Ответ: б) Нет, нельзя.
