Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 3166
2019-05-26 
Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993?
Комментарий. Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.
Решение:
Разобьем единичный квадрат на 4 равных квадратика. Квадратики, пересекающиеся с диагональю только по вершине, назовем «квадратиками первого уровня». Каждый из оставшихся квадратиков разобьем на 4 квадратика. Квадратики, пересекающиеся с диагональю по вершине, назовем «квадратиками второго уровня». Снова разобьем каждый из оставшихся квадратиков на 4 квадратика и т. д. (рис.). Проведем эту операцию 500 раз.
Мы получили $2^k$ квадратиков $k$-го уровня. Сторона каждого из таких квадратиков равна $2^{-k}$. Значит, их суммарный периметр равен 4. Значит, суммарный периметр всех квадратиков всех уровней равен $4 \cdot 500$, что больше, чем 1993.
Комментарии.
1. Формулировку задачи можно усилить. Существует разбиение квадрата на квадратики такое, что сумма периметров квадратиков, имеющих общую внутреннюю точку с диагональю квадрата, больше 1993.
Идея решения в следующем: возьмем квадратики предыдущего разбиения, лежащие ниже диагонали, затем стороны квадратиков «чуть чуть» увеличим, но так, чтобы они имели рациональную длину. (Рациональность нужна для того, чтобы оставшуюся часть квадрата можно было разбить на равные квадратики.)
2. Эта задача возникла на лекции известного математика Н. Н. Лузина, когда он захотел короче доказать теорему Коши (он любил импровизировать). Лузин предположил, что кривая ограниченной длины, содержащаяся в единичном квадрате, может пересечь квадратики разбиения только ограниченного суммарного периметра. Будущий академик А. Н. Колмогоров слушал эту лекцию и вскоре построил контрпример.
Ответ: Может.
Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993?
Комментарий. Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.
Решение:
Разобьем единичный квадрат на 4 равных квадратика. Квадратики, пересекающиеся с диагональю только по вершине, назовем «квадратиками первого уровня». Каждый из оставшихся квадратиков разобьем на 4 квадратика. Квадратики, пересекающиеся с диагональю по вершине, назовем «квадратиками второго уровня». Снова разобьем каждый из оставшихся квадратиков на 4 квадратика и т. д. (рис.). Проведем эту операцию 500 раз.
Мы получили $2^k$ квадратиков $k$-го уровня. Сторона каждого из таких квадратиков равна $2^{-k}$. Значит, их суммарный периметр равен 4. Значит, суммарный периметр всех квадратиков всех уровней равен $4 \cdot 500$, что больше, чем 1993.
Комментарии.
1. Формулировку задачи можно усилить. Существует разбиение квадрата на квадратики такое, что сумма периметров квадратиков, имеющих общую внутреннюю точку с диагональю квадрата, больше 1993.
Идея решения в следующем: возьмем квадратики предыдущего разбиения, лежащие ниже диагонали, затем стороны квадратиков «чуть чуть» увеличим, но так, чтобы они имели рациональную длину. (Рациональность нужна для того, чтобы оставшуюся часть квадрата можно было разбить на равные квадратики.)
2. Эта задача возникла на лекции известного математика Н. Н. Лузина, когда он захотел короче доказать теорему Коши (он любил импровизировать). Лузин предположил, что кривая ограниченной длины, содержащаяся в единичном квадрате, может пересечь квадратики разбиения только ограниченного суммарного периметра. Будущий академик А. Н. Колмогоров слушал эту лекцию и вскоре построил контрпример.
Ответ: Может.
